matematikk.net

Kan noen hjelpe meg med framgangsmåte til å finne asymptoten til

f(x)= x^2ln((1/x)+1) når x --> [symbol:uendelig]

Prøv og sett [tex]u \, = \, \frac{1}{x}[/tex]

Da ser du kanskje litt lettere hva du må gjøre. Da kan du lettere bruke en metode fra en fransk matematikker for å forenkle grenseverdien.

Da får jeg

(ln(1+u))/u^2

Neste steg?

Har derivert, fikk en meget komplisert rekke tall.

-2/(u^3)ln(u+1) + 1/(u^2(u+1))

Hva gjør jeg så?

[tex]f(x) = x^2 \cdot \ln \left( \frac{1}{x} + 1\right)[/tex]

[tex]\lim_{x \to \infty}\, x^2 \cdot \ln \left( \frac{1}{x} + 1\right)\qquad \qquad u = \frac{1}{x}[/tex]

[tex]\lim_{u \to 0}\, \frac{ \: \ln \left( u + 1\right) \: }{u^2} \qquad \left[ \frac{0}{0}\right] [/tex]

[tex]\lim_{u \to 0}\, \frac{ \: \frac{1}{1+u}\: }{2u} [/tex]

[tex]\lim_{u \to 0}\, \frac{1}{2} \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{1+u} \right) [/tex]

[tex]\lim_{x \to \infty}\, \frac{1}{2} x - \frac{1}{2+\frac{2}{x}} [/tex]

Når x, blir veldig veldig stor, vil ikke faktorien \frac{1}{2} ha noe å si. Derimot ser vi at den siste brøken går mot 1/2. Altså kan vi skrive at den skrå asymptoten til [tex]f(x)[/tex] er [tex]x - \frac{1}{2}[/tex]