matematikk.net

maclaurinrekke

[tex]f(0)+f^{\prime} (0)(x)+\frac {f^{(2)}(0)}{2 !} (x)^2+...{f^{(n)}(0)}{n !} (x)^n[/tex]


Blir alltid taylorpolynomials en bedre approksimering dess flere ledd man har eller er det slik at for eks. akselerasjon og jerk (kan ikke norske navnet) kan forandre seg så mye at de for eksempel gjør approksimasjonen dårligere enn en approksimasjon ved linearisering rundt x=a? (for maclaurin blir det jo rundt x=0)

For noen x rundt a kan det stemme ja. Ta f.eks utvidelsen av f(x) = x^2-x om 0. Første-ordenspolynomet er 0, andre-ordenspolynomet er -x og tredje-ordenspolynomet er x^2-x. Det er klart at første-ordenspolynomet er en bedre approksimering av f(1) enn andre-ordenspolynomet er.

Men det er slik at jo flere ledd, jo bedre blir approksimasjonen tilstrekkelig nærme x. Med andre ord er n'te ordenspolynomet bedre enn n-1'te ordenspolynomet i et tilstrekkelig lite område rundt 0 for enhver taylorutvidelse om 0, og tilsvarende for utvidelser om andre punkter.