Egenvektor og egenverdier

[solo]

Finn egenverdiene (λ1 and λ2) og egenvektorene (v1 and v2) til følgende

[tex]x_{n+1} = x_n + 3y_n[/tex]
[tex]y_{n+1} = 2x_n + 2y_n[/tex]

Jeg klarer å finne tak på egenveridene.
λ1 = 4 og λ2 = -1

Men slitter med disse vektorene... Noen som kan hjelpe?

[gill]

[tex]Av=\lambda v[/tex]



identitetsmatirisen I ganget med en vektor gir den samme vektoren

[tex]Av=\lambda Iv[/tex]

[tex]Av-\lambda Iv=0[/tex]

[tex](A-\lambda I)v=0[/tex]

Hvis v ikke er 0-vektor må determinanten til matrisen gagnet med v være 0.

[tex]|A-\lambda I|=0[/tex]

[tex](1-\lambda)(2-\lambda)-6=0[/tex]

Slik fant du vel [tex]\lambda[/tex] antar jeg.

du vet hva


[tex]\lambda[/tex] har som verdi og kan lage en ligning for å finne v for forskjellige lambda:

[tex](A-\lambda I)v=0[/tex]




[tex]A=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}[/tex]

[tex]A-\lambda_1 I=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}[/tex]

[tex]A-\lambda_1 I=\begin{bmatrix} -3 & 3 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}[/tex]
'
[tex](A-\lambda_1 I)v_1=\begin{bmatrix} -3 & 3 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} v_1=0[/tex]

ser vi får samme løsning for [tex]v_1[/tex] ganget inn med begge rekker og løser bare for en av dem:



[tex]-3v_{1,1}+3v_{1,2}=0[/tex]

[tex]v_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}[/tex]

samme for å finne [tex]v_2[/tex]

[tex]A-\lambda_2 I=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}[/tex]

[tex]A-\lambda_2 I=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}[/tex]


[tex](A-\lambda_2 I)v_2=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} v_1=0[/tex]

samme ligning for begge rekker her og og kan løse bare en

[tex]2v_{2,1}+3v_{2,2}=0[/tex]

[tex]2v_{2,1}=-3v_{2,2}[/tex]

[tex]v_2=\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}[/tex]

[gill]

Hvis v ikke er 0-vektor må determinanten til matrisen gagnet med v være 0.

matrisen

[tex](A-\lambda I)[/tex] figur1

fra systemet

[tex](A-\lambda I)v=0[/tex] figur2

må ha determinant=0 fordi at hvis den ikke er 0 vil matrisen være radekvikvalent med identitetsmatrisen I og dermed er radene lineært uavhengige

når radene er lineært uavhengige er kolonnene lineært uavhengige bevist her (har ikke prøvd meg på det der selv men)

http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_(line ... rk.28AT.29

og svarkolonnen (høyre side av likhetstegnet) i et system som figur2 vil bestå av addisjoner av kolonnene til matrisen figur 1 (bare skriv opp systemet i figur2 selv for å se det)

dermed må determinanten være 0 slik at kolonnevektorene ikke er lineært uavhengige for da hadde den eneste vektoren som gir løsning 0 i figur2 vært 0-vektoren