matematikk.net

Hva betyr det at en diskontinuiteten er hevbar? Og hvordan "hever" man diskontinuiteten? Står fire linjer om det i Kalkulus, men ble ikke stort klok av dette.

Anta at [tex]f[/tex] har en diskontinuitet i [tex]x=x_0[/tex].
Jeg vil gjette at diskoninuiteten er hevbar hvis du kan finne en funksjon [tex]g[/tex] som sammenfaller med [tex]f[/tex] i alle punkter untatt i [tex]x=x_0[/tex] og som er kontinuerlig i [tex]x=x_0[/tex].

Med andre ord så er [tex]\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \lim_{x\to x_0^+} f(x)[/tex], og [tex]f[/tex] kan gjøres koninuerlig i [tex]x_0[/tex] ved å omdefinere funksjonsverdien i [tex]x=x_0[/tex].

To eksempler er [tex]f(x)=\frac{\sin(x)}{x}[/tex] med [tex]x_0=0[/tex] eller
[tex]f(x)=\left\{ \begin{array}{lcl} x & , & x\neq a \\ -x & , & x=a \end{array} \right.[/tex] der [tex]x_0=a\neq 0[/tex]

Ser du hvordan du kan heve diskontinuitetene her?

På den første er vel sinx/x lik 1, så da kan jeg bare omdefinere x0 =1. .?? Skal se på den andre nā. Men hovedpoenget er at jeg omdefinerer en funksjon slik at den blir kontinuerlig?

På den første er vel sinx/x lik 1, så da kan jeg bare omdefinere x0 =1. .?? Skal se på den andre nā. Men hovedpoenget er at jeg omdefinerer en funksjon slik at den blir kontinuerlig?

Det er ideen ja. Som espen180 sier, du ser at funksjonen har en grenseverdi som eksisterer i det aktuelle punktet, og definerer så at funksjonen skal ha denne verdien akkurat i punktet. Da blir funksjonen per definisjon kontinuerlig.