matematikk.net

Hei. Vi holder på med trigonometri nå og jeg lurte på en utfordring spørsmål.

• Likningen 4sinx - 3cosx = a har ingen, en eller flere løsninger når xe[0,2[symbol:pi] ), avhengig av verdien til a
  
  Finn antall løsninger for ulike verdier av a

Jeg har gjort om denne til en sinusfunksjon a:

5sin(x-0,64) = a

Jeg har funnet ut at om a=5 eller -5 vil den ha en løsning fordi, sinx=1 har bare en løsning. Jeg vet også at over fem eller mindre enn minus fem vil ikke ha noen løsning fordi da vil a være over 1 som ikke er mulig. Derfor vil den ha to løsninger mellom 5 og -5

Problemet er at hvordan skal jeg bevise det? Det føles litt feil å bare skrive denne forklaringen uten å bevise at det er sant. Jeg kan regne ut eksempler, men hvordan skal jeg bevise at alle tall mellom 5 og -5 har to løsninger?

Takk på forhånd

Det blir ikke feil å skrive det. Jeg tror i alle fall det ville blitt godtatt på en prøve eller eksamen. Det kan du jo spørre læreren din nærmere om.

Tankegangen din er helt riktig. For å vise dette er det en essensiell ting du trenger for å vise dette, at [tex]\sin(\pi - x) = \sin x[/tex]. Dette kan du bevise på mange måter om du ikke vet det fra før. For å se at det er slik er det kjappest å tegne opp enhetssirkelen.

Det dette gir oss er at hvis vi har en ligning [tex]\sin u = c[/tex], hvor - 1 < c < 1, så vet vi at [tex]\frac{\pi}{2} < \sin^{-1}(c) < \frac{\pi}{2}[/tex]. Altså: hvis tallet c er mellom -1 og 1, så vil vinkelen som har denne sinusverdien være mellom [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex] og [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].

Hvis vi har en vinkel [tex]v_1 = \sin^{-1}(c) + k \cdot 2 \pi[/tex] som er en løsning på ligningen, så vil også [tex]v_2 = \pi - \sin^{-1}(c) + n \cdot 2 \pi[/tex] være en løsning, siden

[tex]\sin(\pi - \sin^{-1}(c) + k\cdot 2 \pi) = \sin(\sin^{-1}(c)) = c[/tex]

Det eneste som kan bli problematisk nå er om det viser seg at [tex]v_1 = v_2[/tex], altså at de viser seg å være samme vinkel. Kan det skje når vi har antatt at -1 < c < 1, og dermed at [tex]-\frac{\pi}{2} < \sin^{-1}(c) < \frac{\pi}{2}[/tex]?

Vektormannen wrote:Det blir ikke feil å skrive det. Jeg tror i alle fall det ville blitt godtatt på en prøve eller eksamen. Det kan du jo spørre læreren din nærmere om.

Tankegangen din er helt riktig. For å vise dette er det en essensiell ting du trenger for å vise dette, at [tex]\sin(\pi - x) = \sin x[/tex]. Dette kan du bevise på mange måter om du ikke vet det fra før. For å se at det er slik er det kjappest å tegne opp enhetssirkelen.

Det dette gir oss er at hvis vi har en ligning [tex]\sin u = c[/tex], hvor - 1 < c < 1, så vet vi at [tex]\frac{\pi}{2} < \sin^{-1}(c) < \frac{\pi}{2}[/tex]. Altså: hvis tallet c er mellom -1 og 1, så vil vinkelen som har denne sinusverdien være mellom [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex] og [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].

Hvis vi har en vinkel [tex]v_1 = \sin^{-1}(c) + k \cdot 2 \pi[/tex] som er en løsning på ligningen, så vil også [tex]v_2 = \pi - \sin^{-1}(c) + n \cdot 2 \pi[/tex] være en løsning, siden

[tex]\sin(\pi - \sin^{-1}(c) + k\cdot 2 \pi) = \sin(\sin^{-1}(c)) = c[/tex]

Det eneste som kan bli problematisk nå er om det viser seg at [tex]v_1 = v_2[/tex], altså at de viser seg å være samme vinkel. Kan det skje når vi har antatt at -1 < c < 1, og dermed at [tex]-\frac{\pi}{2} < \sin^{-1}(c) < \frac{\pi}{2}[/tex]?

Takk for en fin svar

Jeg kan spørre læreren for å være helt sikker, men det høres riktig ut det du sier. Det ser ikke ut som det er så veldig mange andre måter å regne ut dette på