Bevis deriverte av e opphøyd i x

[gill]

http://www.viewdocsonline.com/document/q6t81d

Hvis noen ser noen feil eller noe. Gjerne si ifra hvis dere gidder. Tester beviset

Har noen en lettere måte å bevise den deriverte av

[tex]e^x[/tex] på?

[Nebuchadnezzar]

Log In or Sign Up

You must be logged into a valid KeepandShare account to view the page you requested.


Bruk mye heller

http://www.viewdocsonline.com/

eller

http://www.2shared.com/

Anbefaler også på det varmeste å lære seg latex

Så her er en video som viser hvorfor [tex]\frac{d}{dx}ln(x)=\frac{1}{x} [/tex]

http://www.youtube.com/watch?v=3nQejB-XPoY

Integrerer vi begge sider får vi at [tex]\int{\frac{1}{x}\,dx}=ln x+C[/tex]

Utledningen av [tex]e^x[/tex] tar jeg her. Når jeg viser at den deriverte av [tex]e^x[/tex] er [tex]e^x[/tex], impliserer jo dette at den integrerte av [tex]e^x[/tex] er [tex]e^x[/tex]

Her er den "formelle" utledningen, da jeg ikke klarte å finne den skikkelig på verdensveven.

[tex]\frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)}}{{\Delta x}} [/tex]

[tex]{\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{x + \Delta x}} - {e^x}}}{{\Delta x}} = \frac{{{e^x}\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}} = {e^x}\frac{{\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}} [/tex]

[tex] e = {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x}, {\lim }\limits_{x \to \infty } x \Leftrightarrow {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{\Delta x}} [/tex]

[tex] e = {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{1}{{\left( {\frac{1}{{\Delta x}}} \right)}}} \right)^{\frac{1}{{\Delta x}}}} = {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \Delta x} \right)^{\frac{1}{{\Delta x}}}} [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}} = \frac{{\left( {{{\left( {{{\left( {1 + \Delta x} \right)}^{\frac{1}{{\Delta x}}}}} \right)}^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}} = \frac{{\left( {\left( {1 + \Delta x} \right) - 1} \right)}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1 [/tex]

Her er en alternativ utledning, hvor vi bruker kjerneregelen og at den deriverte av [tex]ln(x) [/tex] er [tex]\frac{1}{x}[/tex]

[tex]\frac{d}{{dx}}\ln \left( {{e^x}} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( {x\ln e} \right) = \frac{d}{{dx}}x = 1{\rm{ }},{\rm{ }}\underline {\frac{d}{{dx}}\ln \left( {{e^x}} \right) = 1} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}f\left( {g\left( x \right)} \right) = f^{\tiny\prime}\left( {g\left( x \right)} \right) \cdot g'\left( x \right) [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}\ln \left( {{e^x}} \right) = \frac{1}{{{e^x}}} \cdot \frac{d}{{dx}}{e^x}{\rm{ og }}\frac{d}{{dx}}\ln \left( {{e^x}} \right) = 1[/tex]

[tex] \frac{1}{{{e^x}}} \cdot \frac{d}{{dx}}{e^x} = 1 \Leftrightarrow \frac{d}{{dx}}{e^x} = {e^x} [/tex]

[gill]

Log In or Sign Up

You must be logged into a valid KeepandShare account to view the page you requested.




Bruk mye heller

http://www.viewdocsonline.com/

eller

http://www.2shared.com/

Anbefaler også på det varmeste å lære seg latex

Takk:)

http://www.viewdocsonline.com/document/q6t81d

Så her er en -- som viser hvorfor [tex]\frac{d}{dx}ln(x)=\frac{1}{x} [/tex]

http://www.youtube.com/watch?v=3nQejB-XPoY

Integrerer vi begge sider får vi at [tex]\int{\frac{1}{x}\,dx}=ln x+C[/tex]

Utledningen av [tex]e^x[/tex] tar jeg her. Når jeg viser at den deriverte av [tex]e^x[/tex] er [tex]e^x[/tex], impliserer jo dette at den integrerte av [tex]e^x[/tex] er [tex]e^x[/tex]

Her er den "formelle" utledningen, da jeg ikke klarte å finne den skikkelig på verdensveven.

[tex]\frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)}}{{\Delta x}} [/tex]

[tex]{\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{x + \Delta x}} - {e^x}}}{{\Delta x}} = \frac{{{e^x}\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}} = {e^x}\frac{{\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}} [/tex]

[tex] e = {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x}, {\lim }\limits_{x \to \infty } x \Leftrightarrow {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{\Delta x}} [/tex]

[tex] e = {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{1}{{\left( {\frac{1}{{\Delta x}}} \right)}}} \right)^{\frac{1}{{\Delta x}}}} = {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \Delta x} \right)^{\frac{1}{{\Delta x}}}} [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}} = \frac{{\left( {{{\left( {{{\left( {1 + \Delta x} \right)}^{\frac{1}{{\Delta x}}}}} \right)}^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}} = \frac{{\left( {\left( {1 + \Delta x} \right) - 1} \right)}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1 [/tex]

Her er en alternativ utledning, hvor vi bruker kjerneregelen og at den deriverte av [tex]ln(x) [/tex] er [tex]\frac{1}{x}[/tex]

[tex]\frac{d}{{dx}}\ln \left( {{e^x}} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( {x\ln e} \right) = \frac{d}{{dx}}x = 1{\rm{ }},{\rm{ }}\underline {\frac{d}{{dx}}\ln \left( {{e^x}} \right) = 1} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}f\left( {g\left( x \right)} \right) = f^{\tiny\prime}\left( {g\left( x \right)} \right) \cdot g'\left( x \right) [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}\ln \left( {{e^x}} \right) = \frac{1}{{{e^x}}} \cdot \frac{d}{{dx}}{e^x}{\rm{ og }}\frac{d}{{dx}}\ln \left( {{e^x}} \right) = 1[/tex]

[tex] \frac{1}{{{e^x}}} \cdot \frac{d}{{dx}}{e^x} = 1 \Leftrightarrow \frac{d}{{dx}}{e^x} = {e^x} [/tex]

Gjør vel egentlig mye av det samme som meg her for å bevise deriverte av

[tex]e^x[/tex]