matematikk.net

Enig at dette er et slags bevis som bruker sandwich theorem?



http://www.viewdocsonline.com/document/7wquk5

Har i linken (se nederst i linken) prøvd å vise at

[tex]\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}[/tex]

Du kan ikke bevise en generell regel som skal gjelde for alle a og b ved å se på et spesielt valg av a og b! Selv om tankegangen ser riktig ut (her får noen med mer kompetanse sjekke det nærmere) så har du jo egentlig ikke brukt skviseteoremet/sandwichteoremet. Selv om du har to tall på hver side i ulikheten som er fryktelig nærme hverandre, så hjelper ikke det. Du vet ikke at det som er "sandwichet" i mellom er nøyaktig lik det du ønsker.

gill wrote:Enig at dette er et slags bevis som bruker sandwich theorem?



http://www.viewdocsonline.com/document/7wquk5

Har i linken (se nederst i linken) prøvd å vise at

[tex]\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}[/tex]

uavhengig om dette er et riktig bevis. Hvis vi tar utgangspunkt i

[tex]\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}[/tex] (I)

kan vi skrive

[tex]\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{aa...a}=y[/tex]

med (I) som

[tex]\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{a}...\sqrt[n]{a}=y[/tex] (I)

vi har m [tex]a^{\frac{1}{n}[/tex]



[tex]\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{a}...\sqrt[n]{a}=mg[/tex]

og

[tex]\sqrt[n]{a}=y^{\frac{1}{m}[/tex] (II)

og fra (I) og (II) har vi at

[tex](\sqrt[n]{a})^m=y=\sqrt[n]{a^m}[/tex]

tar vi mte rota får vi

[tex](\sqrt[n]{a})=((a^m)^{\frac{1}{n})^{\frac{1}{m}[/tex]

Å opphøye i m deretter å ta rota av n og deretter rota av m er det samme som bare å ta rota, kanskje ikke så rart men hvordan får man

[tex](\sqrt[n]{a})^m=y=\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}[/tex]?

Jeg syns det er veldig vanskelig å se hva du egentlig skal bevise her.

For heltallige m og n så definerer vi at [tex]\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}[/tex]. Vi ser at dette gir mening om vi ser på en ligning:

[tex]a^n = b^m[/tex]

Tar vi nte-roten her får vi [tex]a = \sqrt[n]{b^m}[/tex]. Men hvis vi i stedet opphøyer begge sider i 1/n får vi [tex]a = (b^m)^{1/n} = b^{\frac{m}{n}}[/tex]. Disse to må nødvendigvis være like.

For å vise at [tex](\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}[/tex]: [tex](\sqrt[n]{a})^m = (a^{\frac{1}{n}})^m = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}[/tex].

gill wrote:Enig at dette er et slags bevis som bruker sandwich theorem?



http://www.viewdocsonline.com/document/7wquk5

Har i linken (se nederst i linken) prøvd å vise at

[tex]\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}[/tex]

Dette ble kanskje litt lettere

http://www.viewdocsonline.com/document/biwlgx

Vektormannen wrote:Jeg syns det er veldig vanskelig å se hva du egentlig skal bevise her.

For heltallige m og n så definerer vi at [tex]\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}[/tex]. Vi ser at dette gir mening om vi ser på en ligning:

[tex]a^n = b^m[/tex]

Tar vi nte-roten her får vi [tex]a = \sqrt[n]{b^m}[/tex]. Men hvis vi i stedet opphøyer begge sider i 1/n får vi [tex]a = (b^m)^{1/n} = b^{\frac{m}{n}}[/tex]. Disse to må nødvendigvis være like.

For å vise at [tex](\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}[/tex]: [tex](\sqrt[n]{a})^m = (a^{\frac{1}{n}})^m = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}[/tex].

Jeg vet jeg kanskje spør om litt rare ting her men allikevel. Er det noen som har en logisk forklaring på hvorfor



[tex]a^{\frac{1}{7}}a^{\frac{1}{7}}=a^{\frac{2}{7}}[/tex]

hvis man tar utgangspunkt i dimensjoner eller røtter av noe

Jeg er kanskje litt morsom i formuleringene mine men jeg prøver bare å få det litt mindre diffust på en eller annen måte hehe

gill wrote:

Vektormannen wrote:Jeg syns det er veldig vanskelig å se hva du egentlig skal bevise her.

For heltallige m og n så definerer vi at [tex]\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}[/tex]. Vi ser at dette gir mening om vi ser på en ligning:

[tex]a^n = b^m[/tex]

Tar vi nte-roten her får vi [tex]a = \sqrt[n]{b^m}[/tex]. Men hvis vi i stedet opphøyer begge sider i 1/n får vi [tex]a = (b^m)^{1/n} = b^{\frac{m}{n}}[/tex]. Disse to må nødvendigvis være like.

For å vise at [tex](\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}[/tex]: [tex](\sqrt[n]{a})^m = (a^{\frac{1}{n}})^m = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}[/tex].

Jeg vet jeg kanskje spør om litt rare ting her men allikevel. Er det noen som har en logisk forklaring på hvorfor



[tex]a^{\frac{1}{7}}a^{\frac{1}{7}}=a^{\frac{2}{7}}[/tex]

hvis man tar utgangspunkt i dimensjoner eller røtter av noe

Jeg er kanskje litt morsom i formuleringene mine men jeg prøver bare å få det litt mindre diffust på en eller annen måte hehe

Her har man prøvd å bevise det jeg lurer på

http://planetmath.org/encyclopedia/Proo ... ntial.html

Lurer altså på den delen som heter additivity som er avbildet her

http://bildr.no/view/1035941

noen som skjønner det?

Grunnen til at jeg lurer er:

[tex](a^m)^{\frac{1}{n}[/tex] (I)

siden [tex]\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}[/tex]

som kan forklares slik

http://www.viewdocsonline.com/document/biwlgx

har vi at


[tex]\sqrt[n]{aa...a}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{a}...\sqrt[n]{a}[/tex]

har m a under rottegnet som i (I)

for å vise at

[tex](a^m)^{\frac{1}{n}=a^{\frac{m}{n}[/tex]

for alle hele tall av n og m

(liker å vise ting lissom)

trenger jeg nå bare å vise at

[tex]a^{\frac{1}{n}}a^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{2}{n}}[/tex]