matematikk.net

Sånn tenker jeg at integrasjon er da

integrasjon kan i tilfeller hvor man har brukt kjerneregelen for å derivere uttrykket man skal integrere gjøres ved å gå den andre veien (all integrasjon er basert på vite hva den funksjonen man skal integrere til er og at man har derivert den og funnet at det ble uttrykket man nå skal integrere)

Kjerneregelen sånn jeg har forstått den

http://www.viewdocsonline.com/document/1dq3xj

Så når man integrerer skulle jeg tro at man skulle fjerne den deriverte kjernen igjen og integrere ved å legge sammen alle små deler av funksjonen.

Men hvorfor legger man sammen du og ikke dx? Skjønner jo forsåvidt at et lite du kan være presist nok men altså ikke hvorfor man ikke bruker dx

Det var oppgaven 5.5.38

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4100/2 ... lfov05.pdf

som gjorde at jeg måtte tenke mer på kjerneregelen siden de driver og forandrer på kjerneuttrykket og ikke bare skriver at


[tex]\frac{du}{dx} dx=du[/tex]

men som sagt lurer og på hvorfor man ikke kan integrere over x istedenfor u og.

Les tråden min om integrasjon du, tror det er tredje eller fjerde innlegget mitt der...

Kort sagt så bruker vi substitusjon som "ønsketenkning" vi gjør et variabelskifte for å forenkle integralet vårt. Måten vi gjør dette variabelskifte på er et slikt bytte at vi kunn står igjen med den nye variabelen. Dersom integralet vårt inneholder for eksempel både x og u, etter substitusjonen må vi enten benytte oss av en annen metode, eller se om vi kan bytte ut x med u.

[tex]\int_a^b f(x) \, dx[/tex]

Betyr egentlig ikke at vi summerer sammen et uendelig antalls skiver med høyde f(x) og bredde dx. Dette er en tolkning av et integral, og en metode for å løse det. Uttrykket over beskriver i praksis arealet avgrenset av x-aksen funksjonen f(x) fra a til b.

Her kan vi tolke dx, ikke nødvendigvis som en uendelig liten del. Men også som hvilken variabel vi skal integrere med hensyn på. Dermed gir det ingen mening å gjøre et variabelskifte uten å bytte ut dx.

Vi sier at vi gjør en substitsujon for å integrere et lettere integral, med tanke på en ny variabel. Eksempelvis

[tex]\int x^3 \sqrt{x^2 + 1} dx [/tex]

[tex]u = x^2 + 1 \qquad \frac{du}{dx} = 2x[/tex]

Nå gjør vi noe totalt ulovelig. vi behandler du/dx som en brøk. Hvorfor vi kan gjøre dette er komplisert og langt, og anbefales ikke å prøve å forstå før senere ut i studiene.

[tex] \frac{du}{dx} = 2x \; \Rightarrow \; dx = \frac{du}{dx}[/tex]

Dette gjøres, slik vi kan bytte ut den gamle integrasjons pekeren, med du.

[tex]\int x^3 \sqrt{u}\, \frac{du}{2x} [/tex]

[tex]\int x^2 \sqrt{u} du [/tex]

Så vet vi at

[tex]u = x^2 + 1 \qquad x^2 = u - 1[/tex]

osv. På slutten så bytter vi tilbake u med x.

Blir litt tåpelig om oppgaven sier:

FINN INTEGRALET AV X

og du svarer

SVARET ER 4 U!

=)

Nebuchadnezzar wrote:
[tex]u = x^2 + 1 \qquad \frac{du}{dx} = 2x[/tex]

Nå gjør vi noe totalt ulovelig. vi behandler du/dx som en brøk. Hvorfor vi kan gjøre dette er komplisert og langt, og anbefales ikke å prøve å forstå før senere ut i studiene.

[tex] \frac{du}{dx} = 2x \; \Rightarrow \; dx = \frac{du}{dx}[/tex]

Ja du sier det er ulovlig men allikevel spør jeg er det dele og gangeoperasjoner du gjør på begge sider her. Klarer ikke å følge med

Men en annen ting er det ikke

[tex]u^2 = x^2 + 1 \qquad \frac{du}{dx}2u = 2x[/tex]

fra implisitt derivering med kjereregel og

[tex] \frac{du}{dx}u = x[/tex]

[tex] udu = xdx[/tex]

Skrivefeil, skal stå 2x og ikke dx.

[tex] \frac{du}{dx} = 2x \; \Rightarrow \; du = 2x \, dx \; \Rightarrow \; dx = \frac{du}{2x}[/tex]
Først ganger vi med [tex]dx[/tex], også deler vi på [tex]2x[/tex].

Selvfølgelig kan vi bruke implisitt derivasjon og, men overgangen her

[tex]\frac{du}{dx}u = x \Rightarrow u \, du = x \, dx[/tex]

Er for min del like "mystisk"

Nebuchadnezzar wrote:Skrivefeil, skal stå 2x og ikke dx.

[tex] \frac{du}{dx} = 2x \; \Rightarrow \; du = 2x \, dx \; \Rightarrow \; dx = \frac{du}{2x}[/tex]
Først ganger vi med [tex]dx[/tex], også deler vi på [tex]2x[/tex].

Selvfølgelig kan vi bruke implisitt derivasjon og, men overgangen her

[tex]\frac{du}{dx}u = x \Rightarrow u \, du = x \, dx[/tex]

Er for min del like "mystisk"

Vi har sagt at for hver lille du vi ganger u med får vi det samme når vi ganger x med en liten dx og det får vi fordi vi startet med å derivere

[tex]u^2[/tex]

og til slutt laget vi

[tex]\frac{du}{dx}[/tex]

som er den deriverte av kjernen. Den kan du se blir definert av utgreiningen av kjerneregelen som må være sentral her et eller annet sted siden jeg mener at all integrering blir bevist ved derivering (trur eg i hvert fall)

Men det er langt ifra alle integral som har en antiderivert.

[tex]\int_{0}^{\pi/2} \ln\left( \sin x\right) \, dx[/tex]

Kan man for eksempel ikke finne en antiderivert til, og kan dermed ikke definere integralet over utifra en derivert.

Nebuchadnezzar wrote:Men det er langt ifra alle integral som har en antiderivert.

[tex]\int_{0}^{\pi/2} \ln\left( \sin x\right) \, dx[/tex]

Kan man for eksempel ikke finne en antiderivert til, og kan dermed ikke definere integralet over utifra en derivert.

Så ut til å bli komplekst på wolfram så tror jeg holder meg unna kompleksiteten:)

I denne linken er det et eksempel hvor man fjerner dx fra kjernene ved å dx fra integralet og står bare igjen med du. Er det slik man integrerer i denne oppgaven og?

http://bildr.no/view/1036695

Problemet med svaret wolfram alpha gir, er at funksjonene den bruker i svaret sitt er i praksis funksjoner som er definert som integral.

Et enklere eksempel er

[tex]\int e^{-x^2}[/tex]

Wolfram sier at dette er lik

[tex]\frac12 \sqrt{\pi} \text{erf}(x)+C[/tex]

Men problemet her er jo at erf er definert som

[tex]\text{erf}(x) \, = \, \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{-t^2} dt[/tex]

................

Av definisjon vet vi at

[tex]\underbrace{ \, a^{1/n} \, \cdot \, a^{1/n} \, \cdot \, ... \, \cdot \, a^{1/n} \, }_{\text{n ganger}} = a [/tex]

Videre har vi også en skrivemåte hvor vi sier at

at 2^2 betyr 2 ganget med seg selv 2 ganger.

2^n betyr to ganger med seg selv n ganger.

Og gange et tall med seg selv 3 ganger også 2 ganger er det samme som å gange et tall med seg selv 5 ganger.

[tex]2^3 \cdot 2^2 = 2^5[/tex]

å generalisere dette er banalt enkelt. Bare å bytte ut 2 og 3 med henholdsvis 3 og 2.

Av DEFINISJON kan vi si at

[tex]a^{\frac{a}{b}}[/tex] betyr det samme som resultatet over kombinert. At vi tar roten av a`n ganger og ganger a med seg selv n ganger.

Begynner du med litt tyngre matematikk kan du vise at disse er assosative opperasjoner. Altså at rekkefølgen ikke spiller noen rolle
Lærer du mer om, om du tar gruppeteori

http://no.wikipedia.org/wiki/Gruppe_%28matematikk%29

Vi vet for eksempel at 2 + 3 er det samme som 3 + 2 i det systemet som vi kaller tallinjen. Men gjelder dette for andre systemer? Dersom det gjelder i et annet system, eller gruppe. Sier vi at addisjon er en assosativ operasjon. . Men dette er ikke opplagt! For eksempel er IKKE multiplikajsjon en assosativ operasjon når det kommer til matriser.

Denne matematikken på dette nivåer er dog mest semantikk... Altså vi definerer en fundamentale egenskaper og regler, også bygger vi matematikken utifra disse prinsippene. For eksempel kan vi ikke bevise at

[tex]1 \, + \, 1 = \, 2[/tex]

Kunn sett fra et matematisk perspektiv. Dette er fundamental definisjon innefor matematikken. Multiplikasjon er for eksempel [tex]n \cdot k[/tex] er definert som at vi legger sammen k, n ganger. Eller n, k ganger. Her er multiplikasjon assosativ.

[tex]3 \cdot 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4 = 12[/tex]

..----------------

Et godt tips er bare å godta mesteparten av dette på lavere årskull. Bare få inn algoritmene og regnereglene i fingrene. Ikke tenk så mye på bevisene, bare bli drittgod i den kjedelige regningen.

Bevisføringen får du massevis av på høyere åskull, fag som tallterori 1301, Algebra 2203 , Geometri , reell analyse, komleks analyse, osv er fag som tar seg av alt dette. Og meningen er nok å bare lære seg regningen før en arbeider med forståelsen. =)

-----------------

Så lenge du får ut av hodet ditt at integral er definert som antideriverte blir jeg glad. Integral sier "bare" noe om arealet under funksjoner. Og kan i noen tilfeller bli regnet ut via kjente antideriverte, for de aller fleste integral er dette IKKE mulig. Og vi må for eksempel bruke taylorrekker, simpsons rule, osv osv for å TILNÆRME arealet =)

Høres veldig spennende ut. Skulle gjerne ha tatt et slikt fag hvor sånne ting lar seg bevise som at

[tex]a^{\frac{m}{n}}a^{\frac{1p}{n}}=a^{\frac{m+p}{n}}[/tex]

for hele positive tall av m,n og p

Men angående integreringen tror jeg jeg var på bærtur. Substitusjon og kjerneregelen henger ikke sammen tror jeg som jeg var så hard på. Mer at man bare finner en annen integrasjonsvariabel som jeg mener du sa. At

[tex]duu=xdx[/tex]

blir

[tex]\frac{du}{dx}u=x[/tex]

siden u er gitt med x som variabel betyr dette lille forandring av u per x og er stigningstallet til u og vi er interesert i lille forskjell av u altså delta u som kan finnes ved å gange stigningstallet til u:

[tex]\frac{du}{dx}[/tex] med et lite x altså dx og deretter legge sammen alle. Hvordan man vet hva formelen er som gjør at man legger sammen allr er der jeg er mer usikker. Tror dette er hovedgrunnen til at jeg går via derivasjon først fordi jeg synes det gir mening å finne den deriverte ved formler altså

[tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex]

og ved dem finner man forandring til grafen som man da kan legge sammen for å få f igjen. Dermed har man funnet deriveret av f kan man lett finne f igjen sånn kan jeg skjønne hvordan man kan finne den integrerte men ellers ikke. Mente du å integrere taylorrekker for å finne integralet? Eller er det noen andre måter jeg ikke har skjønt?

Sånn jeg ser på det nå i hvert fall. Skal ikke være skråsikker på noe men. Takk for hjelpen. Føler meg litt skyldig her siden jeg var så skråsikker på sammenheng melom kjerneregelen og substitusjon og så gikk tilbake på det etterpå

Mente å finne taylorrekka til funksjoner, også integrere denne rekka. Egentlig er jo dette en mye mer praktisk måte å gjøre ting på. Og en kan få et så nøyaktig svar en bare vill, ved å inkludere nok ledd. Sånn sett er det bare tåpelig å regne ut integraler ved å finne den antideriverte ^^

Jeg digger det da, fordi det er hjernetrim, og koselige oppgaver.
Selv om en funksjon ikke har en elementær antiderivert (her snakker vi om en antiderivert som ikke kan bli uttrykkt via logaritmer, polynomer, rasjonale funksjoner, irrasjonale funksjoner)

http://nn.wikipedia.org/wiki/Element%C3%A6r_funksjon

Så kan man likevell klare å finne et nøyaktig svar for noen av disse integralene. Er et par eksempler på side 2 i integrasjonstråden

Eksempelvis

[tex]\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x }{x} \, = \, \pi[/tex]

[tex]\int_{-\infty}^{\infty} \cos\left( x^2 \right) + \sin\left( x^2\right)\, = \, \sqrt{2\pi}[/tex]

[tex]\int_{-a}^{a} \sin(x^3) \, dx = 0 [/tex] < Denne burde du klare =)

Nebuchadnezzar wrote:
Eksempelvis

[tex]\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x }{x} \, = \, \pi[/tex]

[tex]\int_{-\infty}^{\infty} \cos\left( x^2 \right) + \sin\left( x^2\right)\, = \, \sqrt{2\pi}[/tex]

[tex]\int_{-a}^{a} \sin(x^3) \, dx = 0 [/tex] < Denne burde du klare =)

Er ikke noe særlig stødig i regning. Har konsentrert meg mest om teori egentlig å prøvd å forstå ting først så her kom jeg nok til kort rett og slett. Enig i at dette er forklaring for hvorfor taylor serier fungerer? Noen sier det ervanskelig å få bevis for dem usikker hvorfor.

http://www.viewdocsonline.com/document/3wjts9

Ops fant en feil i vedlegget. Hehe hvis noen leser det kan jeg jo vente litt å se om noen er enige

EDIT har rettet opp det jeg mente var feil

odde funksjon

Nebuchadnezzar wrote:odde funksjon

Hva betyr det? Er den funksjonen odd? Det er jo ingen bestemt funksjon

mente siste integralet, tror det står litt om like og odde funksjoner i tråden og.

En funksjon er odde dersom

[tex]f(-x) = -f(x)[/tex]

En funksjon er lik dersom

[tex]f(-x) = f(x) [/tex]

Utifra dette får vi at, dersom [tex]f[/tex] er en odde funksjon

[tex]\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0[/tex]

Dersom f er en lik funksjon

[tex]\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx[/tex]

Det at en funksjon er odde er det samme som at en funksjon er symmetrisk om origo. for eksempel er x^2 en lik funksjon og x^3 en odde funksjon.

(x-1)^2 er for eksempel symmetrisk om x=1.

Resultatene ovenfor er lett å generalisere for arbitære punkt.