matematikk.net

Hei. Har fått en oppgave om å rgne ut dimensjonen til vektorrommet V som inneholder alle symmetriske matriser, hvordan gjør jeg det? Har vist at rommet eksiaterer, men klarer ikke finne dimensjonen. Tenker at det må bli n-dimensjonelt, men det stemmer visst ikke...[/list][/i]

Start med å se på det (nest)letteste tilfellet, en generell symmetrisk 2x2-matrise:

[tex]\begin{pmatrix}a&b\\ b&c \end{pmatrix}[/tex]

Denne kan skrives som

[tex]\begin{pmatrix}a&b\\ b&c \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0&0\\ 0&1 \end{pmatrix}[/tex].

Vi ser at mengden
[tex]\{\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\}[/tex] er en basis for rommet av symmetriske 2x2-matriser, så dimensjonen er 3.

Du kan nå generalisere til symmetriske nxn-matriser.

Men vil jeg ikke da ende opp med en uendelig dimensjon?

Dreier ikke oppgaven seg om å finne dimensjonen til vektorrommet som inneholder alle symmetriske nxn-matriser? Dimensjonen kan antakelig uttrykkes ved hjelp av n.

For n=2 har vi sett at dimensjonen er 3. Poenget er sikkert å finne et generelt uttrykk for dimensjonen når n er vilkårlig.