matematikk.net

Skalarprodukt er definert som [tex]\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \cos \angle(\vec{p}, \vec{q})[/tex]. Gjelder dette kun koordinatløse vektorer? For et eksempel i boka regner ut skalarproduktet mellom to vektorer kun ved å gange dem sammen og addere produktene.

[tex]\vec{p} \cdot \vec{q} = [3, 5, -2] \cdot [2, -4, 1] = (3 \cdot 2 + 5 \cdot (-4) + (-2) \cdot 1) = -16[/tex]

______________________________________

I en oppgave står det følgende:
I trekanten ABC er A(0, 0, 1), B(4, 1, 3) og C(6, 3, 7). Punktet M ligger midt på BC, mens punktet N ligger på AC slik at AN : NC = 2.

Hva nøyaktig er 'AN : NC = 2' her? Et forhold? Om det hadde vært tilfelle, burde det vel ha stått to tall, som 1 : 3, hadde det ikke?

______________________________________

Jeg husker ikke helt hvordan en regner ut koordinatene til et skjæringspunkt mellom to linjer, så jeg trenger litt hjelp med denne:
I trekanten ABC er A(-3, 1, 2), B(2, 4, 4) og C(1, 3, 6). Midtpunktene på BC og AC er P og Q. Finn koordinatene til skjæringspunktet S mellom AP og BQ.

Det finnes ikke noe sånt som koordinatløser vektorer, men jeg tror jeg skjønner hva du mener :p. Det er ikke noe annet enn to regnemetoder for skalarproduktet. Hvis du har to vektorer [a,b] og [c,d] så kan du enten regne ut skalarproduktet direkte ved å bruke at det blir [tex]a \cdot c + b \cdot d[/tex], eller du kan finne lengdene av vektorene, og så finne vinkelen mellom dem, og deretter benytte definisjonen av skalarproduktet. (Det blir selvsagt mye mer arbeid.)

Det andre spørsmålet: Her er jeg litt usikker jeg også. Det kan jo være de mener et forhold. Hvis ikke så mener de kanskje at AN delt på NC skal være 2, altså at AN er dobbelt så lang som NC?

Det siste: Du kan f.eks. finne en parameterfremstilling for hver av linjene. Da trenger du 1) et punkt på linja og 2) en vektor som er parallell med linja. Kan du finne det her?

Alternativt på den siste så kan du finne et uttrykk for [tex]\vec{AS}[/tex] (f.eks.) på to måter. Du vet jo at [tex]\vec{AS} = k \vec{AP}[/tex]. Men samtidig så vet du at [tex]\vec{AS} = \vec{AB} + n \cdot \vec{BQ}[/tex]. Dette er til sammen nok til å bestemme hva k (eller n eller begge) må være, og da har du koordinatene til S.