matematikk.net

Hvis man skal finne tan invers finer man verdi for invers funksjon for x og den inverse er slik at den har x som y-verdi. Når man finer den inverse på kalkulatoren får man x-verdien til tan men bare i 4de og første kvadrant så man har egentlig funnet den inverse sin y-verdi for første gang i den periodiske bevegelsen tan invers har langs y-aksen nedover eller oppover y-aksen. Blir det riktig?

Jeg har litt vansker med å forstå hva du mener, men hvis jeg oppfatter deg rett så stemmer det ja. Siden tangensfunksjonen er periodisk så er den ikke én til én. Det betyr at flere vinkler på x-aksen (uendelig mange) sendes til samme verdi på y-aksen, f.eks. [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] og [tex]\frac{4\pi}{3}[/tex]. Da kan vi utgangspunktet ikke gå baklengs fra y-verdien og få ut hvilken x-verdi (vinkel) som tilsvarte den valgte tangensverdien, siden det er uendelig mange vinkler som har denne verdien. Men hvis vi begrenser oss til et intervall med lengde [tex]\pi[/tex] på x-aksen så vil dette intervallet dekke akkurat én periode av tangensfunksjonen, så innenfor et slikt intervall kan vi plukke ut en y-verdi og få ut en, og bare en vinkel i intervallet. På et slikt intervall kan vi da definere en inversfunksjon.

Det man har gjort da er som du sier å si at inversfunksjonen til tan skal være den funksjonen som sender hver verdi på y-aksen til den tilsvarende vinkelen mellom [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex] og [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]. Så når du skriver inn [tex]\tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)[/tex] så får du ut [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] siden det er den vinkelen i intervallet [tex](-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})[/tex] som har samme tangensverdi som [tex]\frac{4\pi}{3}[/tex].

takker

Bare for å bryte inn; når du sier "én til én", mener du da at funksjonen, for enhver y kun har én enkelt x?

Ja, akkurat. Så for eksempel er [tex]f(x) = x^3[/tex] en én til én-funksjon, mens [tex]f(x) = x^2[/tex] ikke er en én til én-funksjon siden [tex]f(-2) = f(2) = 4[/tex]. En funksjon som er én til én kalles også "injektiv".

men den inverse til

[tex]y=x^2[/tex] sin inverse gir kvadratroten av x og den gir jo to løsninger og det har jo [tex]x^2[/tex] og i forhold til at to verdier for x gir samme y-verdi. Den inverse er og definert som en til en i boka mi men i slike tilfeler gir det jo litt mening at det er to løsninger?

For [tex]x^2[/tex] og For [tex]\pm\sqrt{x}[/tex] jo speilet om henholdsvis x og y-akse.
Det jeg ikke liker med inverse av trigonometriske funksjoner er at det virker veldig vanskelig å skrive de om selv ved å løse for x

Kvadratroten har ikke to løsninger. Et tall har to kvadratrøtter, ja, men kvadratrotfunksjonen har bare én verdi, og den er tallets positive rot. Hvis ikke gir det ikke mening å snakke om en funksjon. Husk på at en relasjon mellom to mengder kun er en funksjon dersom det for hvert element i definisjonsmengden hører med én og bare én verdi i verdimengden. Det gir i utgangspunktet ikke mening å snakke om en invers til [tex]f(x) = x^2[/tex] på samme måte som for tangens, men når vi begrenser oss til intervallet [tex][0, \infty)[/tex] så er funksjonen én-til-én der. Da kan vi definere inversen [tex]f^{-1}(x) = \sqrt x[/tex] som sender hver verdi større enn 0 "på y-aksen" til én verdi i intervallet [tex][0, \infty)[/tex].