Hei.
Jeg sliter litt med å se logikken i et Corollary i Rudins bok. Dette er fra seksjonen "The Continuity of Derivatives". Man tar her utgangspunkt i Teorem 5.12:
Suppose [tex]f[/tex] is a real differentiable function on [tex][a,b][/tex] and suppose [tex]f^\prime(a) < \lambda < f^\prime(b)[/tex]. Then there is a point [tex]x \in (a,b)[/tex] such that [tex]f^\prime(x) = \lambda[/tex].
A similar result holds of course if [tex]f^\prime(a) > f^\prime(b)[/tex].
PROOF:
Put [tex]g(t) = f(t) - \lambda t[/tex]. Then [tex]g^\prime(a) < 0[/tex], so that [tex]g(t_1) < g(a)[/tex] for some [tex]t_1 \in (a,b)[/tex], and [tex]g^\prime(b) > 0[/tex], so that [tex]g(t_2) < g(b)[/tex] for some [tex]t_2 \in (a,b)[/tex]. Hence [tex]g[/tex] attains its minimum on [tex][a,b][/tex] at some point [tex]x[/tex] such that [tex]a < x < b[/tex]. Thus [tex]g^\prime(x) = 0[/tex]. Hence [tex]f^\prime(x) = \lambda[/tex].
COROLLARY
If [tex]f[/tex] is differentiable on [tex][a,b][/tex], then [tex]f^\prime[/tex] cannot have any simple discontinuities on [tex][a,b][/tex].
But [tex]f[/tex] may very well have discontinuities of the second kind.
OK. Her forstår jeg beviset fullt ut. Men jeg sliter litt med å se hvordan vi får det gitte Corollary basert på dette beviset. Om noen kort kan forklare hvordan dette følger av beviset, så ville jeg vært veldig takknemlig!
Kontinuitet av dervierte funksjoner
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]f(x)=x^2\sin(\frac{1}{x})\forall x\neq 0\, ,f(0)=0[/tex] er deriverbar i x=0, men [tex]f^,[/tex] har likevel en essensiell diskontinuitet i dette punktet. Dersom den deriverte har en jump-diskontinuitet i x=c vil jo tangenten til f gjøre et lite hopp i dette punktet, og da vil jo ikke f være deriverbar der heller.
Last edited by Gustav on 07/12-2011 17:48, edited 1 time in total.
. Nå er jeg med.bevis
Hvis [tex]f^,[/tex] har en jump-diskontinuitet i [tex]x=c[/tex] er f.eks. [tex]\lim_{x\to c^+}f^,(x)=a> b=\lim_{x\to c^-}f^,(x)[/tex].
Velg en [tex]\frac{a-b}{3}>\epsilon>0[/tex] og en [tex]\delta>0[/tex] slik at x<c og [tex]c-x<\delta[/tex] medfører at [tex]|f^,(x)-a|<\epsilon[/tex], og x>c og [tex]x-c<\delta[/tex] medfører at [tex]|f^,(x)-b|<\epsilon[/tex]. Velg en [tex]a-\epsilon>\lambda\neq f^,(c)>b+\epsilon[/tex].
Da fins det en [tex]c-\delta<e<c[/tex] og [tex]c<f<c+\delta[/tex] slik at [tex]f^,(e)<\lambda<f^,(f)[/tex], men ingen e<y<f slik at [tex]f^,(y)=\lambda[/tex]
Hvis [tex]f^,[/tex] har en jump-diskontinuitet i [tex]x=c[/tex] er f.eks. [tex]\lim_{x\to c^+}f^,(x)=a> b=\lim_{x\to c^-}f^,(x)[/tex].
Velg en [tex]\frac{a-b}{3}>\epsilon>0[/tex] og en [tex]\delta>0[/tex] slik at x<c og [tex]c-x<\delta[/tex] medfører at [tex]|f^,(x)-a|<\epsilon[/tex], og x>c og [tex]x-c<\delta[/tex] medfører at [tex]|f^,(x)-b|<\epsilon[/tex]. Velg en [tex]a-\epsilon>\lambda\neq f^,(c)>b+\epsilon[/tex].
Da fins det en [tex]c-\delta<e<c[/tex] og [tex]c<f<c+\delta[/tex] slik at [tex]f^,(e)<\lambda<f^,(f)[/tex], men ingen e<y<f slik at [tex]f^,(y)=\lambda[/tex]