matematikk.net

SukkAntakeligvis noe banalt lett som jeg overser igjen

--------------

Anta at [tex]m^n-1[/tex] er et primtall, [tex]m\geq2 \quad n\geq 2[/tex], vis at det er nødvendig at [tex]m=2[/tex]

---------------

Jeg tenker nok altfor komplisert igjen.

Dersom [tex]m[/tex] er et oddetall så vil vi få differansen mellom to oddetall. Differansen mellom to oddetall vil alltid være delelig på 2.

Anta derfor at m er et partall.

Videre er jeg litt usikker på hva jeg kan gjøre. Hint ? =)

[tex]m^n \equiv 1 \, \pmod{m-1}[/tex] ?

[tex] m^n - 1^n = (m-1)(m^{n-1} + m^{n-2}+ ... + 1) [/tex]

Denne formelen kan du "lukte" av formelen for sum av geometrisk rekke, som du får ved å dele på (m-1) på begge sider.

Eller om du ikke kjenner den formelen, men gjetter på at det burde være delelig på (m-1), så kan du jo godt se på det mod (m-1), for der blir det bare 1-1=0.

Var jo det jeg skrev nederste nede, men jeg viste ikke om den alltid stemte. Bare antok det.

Altså at 5^3 = 5*5*5 - 1

Alltid vil være delelig på 4.

Det jeg mener er altså at siden [tex]m \equiv 1 \pmod {m-1}[/tex] må også [tex]m^n \equiv 1^n =1 \pmod {m-1}[/tex]. Det er dog lurt å lære seg å kjenne igjen formelen Fibonacci nevner, for den dukker opp både her og der.

La oss si at jeg skal bevise at [tex]6^n - 1[/tex] deler [tex]5[/tex] for [tex]n\in \mathbb{N}[/tex]

Så vet jeg hvordan jeg kan vise det med induksjon, men kan jeg også bare "rely" lene meg på kongurensreglene altså at jeg skriver noe slikt som

[tex]6 - 1 \equiv 0 \pmod{5}[/tex]
[tex]6 \equiv 1 \pmod{5}[/tex]
[tex]6^n \equiv 1^n \pmod{5}[/tex]
[tex]6^n \equiv 1 \pmod{5}[/tex]

?

Ja, du kan gjøre det. Jeg ville ført det sånn tror jeg:

[tex]6 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 5)[/tex]

[tex]6^n \equiv 1^n \ (\text{mod} \ 5)[/tex]

[tex]6^n - 1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 5) \ \Leftrightarrow \ 5 | 6^n - 1[/tex]