matematikk.net

Hva gjør jeg med grunntallene her??


http://bildr.no/view/1046439


Jeg tenkte man kunne få grunntallene til å bli 10, så jeg kan ta log på begge sider.

Du har her at en potens med grunntall 4 skal være lik en potens med grunntall 4. Er du enig i at hvis to potenser med samme grunntall skal være like så må eksponentene være like?

Kan en av dere poste en løsning? Var ganske vrien syns jeg

Jeg kan jo hjelpe deg på vei? Som sagt så må eksponentene være like. Da får vi ligningen:

[tex]4 + \lg(x^2 + 1) = \lg x - 4[/tex]

Hva skjer om du opphøyer med 10 som grunntall?

Ja, da ser jeg jo at det er et ulikhetstegn i oppgaven

Men tankegangen blir den samme. Hvis en potens skal være mindre enn en annen med samme grunntall så må eksponenten være mindre. Det gir ulikheten [tex]4 + \lg(x^2 + 1) < \lg x - 4[/tex]. Da kan man gå videre med at hvis et tall er mindre enn et annet så er også 10 opphøyd i tallet mindre enn det andre. Så her kan man med andre ord opphøye begge sider med 10 som grunntall. Da blir man "kvitt" logaritmene.

Håper det er greit at jeg stjeler hele tråden. =P
Som vanlig hadde potensreglene gjemt seg i den mørkeste kroken i hjernen..

Stemmer dette?
[tex]$$4 + \lg ({x^2} + 1) < \lg x - 4$$[/tex]

[tex]$${10^{4 + \lg ({x^2} + 1)}} < {10^{\lg x - 4}}$$[/tex]

[tex]$${10^4} \cdot {10^{\lg ({x^2} + 1)}} < \frac{{{{10}^{\lg x}}}}{{{{10}^4}}}$$[/tex]

[tex]$${10^4} \cdot ({x^2} + 1) < \frac{x}{{{{10}^4}}}$$[/tex]

[tex]$${10^8}{x^2} - x + {10^8} < 0$$[/tex]

Denne andregradslikningen har ingen løsninger, derfor er uttrykkene aldri like hverandre, og de uttrykket som er størst for en vilkårlig verdi av x er alltid størst.

Ulikheten har derfor ingen løsning.

Ja, det ser helt flott ut dette.

Trenger vi "egentlig" regne på dette ?

[tex]4 + \lg\left( x^2 + 1\right) < \lg x - 4 [/tex]

[tex]8 + \lg\left( x^2 + 1\right) < \lg x[/tex]

Herfra ser vi at VS er definert for alle verdier av [tex]x[/tex]. Og den minste verdien VS kan ha er 8, siden logaritmen er en strengt voksende funksjon.

Videre ser vi at HS bare er definert når [tex]x>0[/tex]. Og at dersom x=0, så vokser funksjonen mot minus uendelig. Siden begge sider er strengt voksende funksjoner og [tex]x^2+1 > x[/tex] for alle [tex]x[/tex] når x>0. Så ser vi at ulikheten er en umulighet.

Det er selvfølgelig også helt riktig å argumentere på den måten. Kanskje litt vanskeligere for en VGS-elev? Ikke vet jeg.

Kanskje litt vanskelig ja, men burde gå fint om en reffererer til tegning =)

En ting jeg brente meg på i mine yngre dager var at

[tex]a^{f(x)} > a^{g(x)}[/tex]

Alltid var det samme som

[tex]f(x)>g(x)[/tex]

Men dog stemmer dette bare når [tex]a>1[/tex], ellers må vi snu likhetstegnet.
Mener dette skal være riktig, drar det fra langt bak i husken.

Det stemmer. For 0 < a < 1 så blir det omvendt, glemte å si det i sted ja.

Jeg syns det er kjempegøy å få vite om de forskjellige metodene og triksene jeg kan bruke til å løse oppgaver med. Matematikken hadde nok vært mye tyngre og kjedeligere uten dette nettstedet, spesielt som privatist.