matematikk.net

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4100/2 ... lfov09.pdf

oppgave 7.7.66

Jeg lurer på hvorfor

[tex]\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{2xdx}{x^2+1}[/tex] (I)

divergerer.

At

[tex]\int\limits_{0}^{\infty}\frac{2xdx}{x^2+1}[/tex]

divergerer synes jeg var greit siden man fikk

[tex]\int\limits_{0}^{\infty}\frac{2xdx}{x^2+1}=ln(x^2+1)[/tex]

når [tex]x=\infty[/tex]

men jeg får liksom (I) til å bli

[tex]\infty - \infty[/tex]

Her er theoremet de referer til i fasit:

http://bildr.no/view/1046809

Det kommer vel av at

[tex]\infty - \infty[/tex]

er et udefinert uttrykk. Det er ikke lik null.

for å få en logisk forståelse for dette så kommer det vel av at vi har med grenser å gjøre, og ikke tall. Og noe kan vokse i forskjellig hastighet mot uendelig.

Det er vel ikke det at vi har med grenser å gjøre som er 'problemet'. Generelt er [tex]\infty - \infty[/tex]-uttrykk udefinerte, ja, men her ser vi jo at [tex]\int_{-y} ^{y} \frac {2x} {x^2+1} = \ln(y^2+1) - \ln((-y)^2+1) = 0[/tex] for alle [tex]y[/tex], så grenseverdien når y går mot uendelig er 0.

Grunnen her er at vi sier at integralet [tex]\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx[/tex] eksisterer/konvergerer hvis og bare hvis [tex]\int_0 ^{\infty} f(x) dx[/tex] og [tex]\int_{-\infty}^0 f(x) dx[/tex] begge gjør det, og at i så fall er verdien lik summen av disse. Her divergerer begge integralene, så selv om summen av dem konvergerer sier vi at hele integralet divergerer.

Dette virker kanskje som en pussig ting å si, men det er ikke så forferdelig urimelig likevel - tenk bare på integralet [tex]\int_{-y}^{y+1} \frac {2x} {x^2+1} dx[/tex]. Dette vil gå mot uendelig når y går mot uendelig, men i en eller annen intuitiv forstand 'burde' [tex]\infty +1 "=" \infty[/tex], så om vi skulle sagt at dette integralet konvergerte måtte vi hatt en måte å håndtere denne pussigheten her på.