matematikk.net

Prøvde ratiotesten på denne serien:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[n]{10}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt[n+1]{10}}{\sqrt[n]{10}}=y[/tex]

[tex]\frac{10}{\sqrt[n]{10}^{n+1}}=y^{n+1}[/tex]

[tex]\frac{10}{10^{\frac{1}{n}}^{n+1}}=y^{n+1}[/tex] (I)

Venstre side er mindre enn 1. Dermed er

[tex](\frac{10}{10^{\frac{1}{n}}^{n+1}})^{\frac{1}{n+1}}=y[/tex]

og mindre enn en og ved ratio test skulle serien konvergere. Men den skal divergere. Hva gjør jeg feil?

Jeg vet ikke om det har noe å si men oppgaven er egentlig

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot\sqrt[n]{10}[/tex] (II)

men hvis

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[n]{10}[/tex]

konvergerer må vel (II) konvergere og

Det siste du sier der er riktig.

Noe du alltid bør undersøke først er om leddene i rekken går mot 0. Hvis de ikke gjør det så kan du med en gang konkludere med at rekken ikke kan konvergere. Her ser vi at [tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{10} = 1 \neq 0[/tex], så rekken divergerer.

Men forholdstesten skal selvsagt gi et svar som er i overenstemmelse med dette også. Jeg ser ikke helt hva du egentlig gjør der, men det ser litt overkomplisert ut? Her kan du bruke eksponentreglene direkte:

[tex]\frac{\sqrt[n+1]{10}}{\sqrt[n]{10}} = \frac{10^{\frac{1}{n+1}}}{10^{\frac{1}{n}}} = 10^{\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}} = 10^{-\frac{1}{n(n+1)}}[/tex]

Dette går mot 1 når n går mot uendelig og forholdstesten gir da ingen konklusjon.