matematikk.net

Jeg har en oppgave hvor man skal bruke binomisk rekke for å regne ut

[tex](1+x^2)^{-1/3}[/tex] (I)

Her er forklaring for binomisk rekke i boka

http://bildr.no/view/1047623

http://bildr.no/view/1047624

Her ser det for meg ut som de tar utgangspunkt i taylor rekke for
[tex](1+x)^m[/tex] for a=0 altså maclaurinrekke

Men i (I) så bytter de ut x med [tex]x^2[/tex]. Skule man utgreiet det på samme måte hadde man måttet bruke kjerneregelen og jeg fikk at

[tex]\frac{df}{dx}=2x(-\frac{1}{3}(1+x^2)^{-4/3}[/tex]


[tex]\frac{d^2f}{dx^2}=4x^2(\frac{4}{9}(1+x^2)^{-7/3}+2(-\frac{1}{3}(1+x^2)^{-4/3}[/tex]

i 0 blir de:

[tex]\frac{df}{dx}=0[/tex]

[tex]\frac{d^2f}{dx^2}=-\frac{2}{3}[/tex] (II)

Hvis man ganger (II) med [tex]\frac{x^2}{2}[/tex]

som gir tredje ledd i taylorrekka får man


det samme som første ledd i svaret ved binomial series (oppgaven er 8.10.8):

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4100/2 ... lfov11.pdf


men hvordan man ser denne sammenhengen fra utgreiningen av binomial series synes jeg er vanskelig å se. Hvordan kan man bare bytte x med [tex]x^2[/tex] i binomial series når den er basert på en annen taylorrekke?

Du har at en funksjon f(x) kan representeres med en Maclaurinrekke som vil konvergere så lenge |x| < 1. Så du vet at uansett hvilket tall |x| < 1 du putter inn så vil rekken konvergere. Er det noe i veien for å si at x skal være lik [tex]u^2[/tex] (jeg bruker en annen bokstav her for å ikke forvirre)? For en her x som er større enn eller lik 0 så kan vi jo skrive den x-verdien som et kvadrat av et eller annet tall. Så hvis [tex]x = u^2[/tex] så rekken gi ut den samme verdien om vi først bytter ut x med [tex]u^2[/tex] i selve rekken, eller om vi først regner ut hva [tex]u^2[/tex] blir og så setter inn i rekken. Jeg vet ikke om dette var noe oppklarende, men det er i alle fall en måte å tenke på. Kanskje noen andre har en bedre og mer 'matematisk' forklaring?