matematikk.net

Jeg sitter med en oppgave som har gitt funksjonen, f(x)=x^2-ln(x^2+1)-1. Oppgaven spør hvor mange nullpunkt denne funksjonen har. På LF har de løst dette med å vise at funksjonen er kontinuerlig osv. Jeg forstår ikke hvordan jeg kan se at denne er kontinuerlig eller hvordan de bruker dette til å finne nullpunktene.

Kan noen hjelpe meg med å forstå dette? Går det an å gjøre det på noen lettere måte?

Alle polynomfunksjoner er kontinuerlige, så [tex]x^2[/tex] og [tex]x^2 + 1[/tex] funksjonen din er kontinuerlige. Logaritmefunksjonen er også kontinuerlig, og en sammensetning av kontinuerlige funksjoner er også kontinuerlig, så f(x) må være en kontinuerlig funksjon. Bare husk på at nesten alle funksjoner er kontinuerlige stort sett over alt, og der de ikke er det er ofte steder hvor man deler på 0 (f.eks. g(x) = 1/x er ikke kontinuerlig x = 0 siden man da deler på 0.)

Poenget med at vi vet at f er kontinuerlig er at vi da vet at funksjonen ikke gjør noen "hopp". Da vet vi at hvis funksjonen er positiv for en eller annen x = a og negativ for en eller annen x = b, så må det være et nullpunkt for en x mellom a og b!

Jeg vet ikke hvordan de har gjort det i LF, men her er det lurt å observere at funksjonen er en såkalt likefunksjon. Det betyr at den er helt symmetrisk om y-aksen. Det betyr at hvis [tex]f(a) = 0[/tex], altså at x = a er et nullpunkt, så må også [tex]f(-a) = 0[/tex]‚ altså er x = -a da også et nullpunkt. Dette betyr at vi kan begrense oss til å se på x-verdier som er positive. For hvert nullpunkt vi da finner så vet vi at det er et nullpunkt for negative x.

Nå får vi bruk for at funksjonen er kontinuerlig. Vi begynner å se på hvilken verdi funksjonen har når x = 0. Da får vi [tex]f(0) = 0^2 - \ln(0^2 + 1) - 1 = 0 - \ln 1 - 1 = -1[/tex]. Så ser vi hva som skjer når x blir større. Hva med [tex]x = 10[/tex]? Da får vi [tex]f(10) = 100 - \ln(101) - 1 \approx 94.4 > 0[/tex]. Da ser vi at i x = 0 så var funksjonen negativ (under x-aksen), mens i x = 10 så er den positiv (over x-aksen). Siden funksjonen er kontinuerlig så må den da krysse x-aksen i et eller annet punkt mellom x = 0 og x = 10. Vi bryr oss ikke om hvor, for oppgaven spør ikke etter det. (Det er også vanskelig å finne ut vha. ren algebra.)

Siden vi nå vet at det er et nullpunkt et sted mellom x = 0 og x = 10 så vet vi at det også er et mellom x = 0 og x = -10, siden funksjonen er symmetrisk om y-aksen. Så vi har nå funnet at den har to nullpunkter. Kan den ha flere? For å svare på det kan det være lurt å se på den deriverte. Den deriverte av funksjonen er [tex]f^\prime(x) = 2x - \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = 2x\left(1 - \frac{1}{x^2 + 1}\right) = \frac{2x^3}{x^2 + 1}[/tex]. Vi ser at den deriverte er lik 0 i x = 0 og negativ for x < 0 og positiv for x > 0. Siden den er positiv for alle x større enn 0, så vet vi at funksjonen stiger monotont. Den kan umulig snu og synke igjen. Det betyr at når den først har krysset x-aksen (og altså hatt et nullpunkt) så må den fortsette å stige. Det kan da ikke være flere nullpunkt. Det er altså bare de to som ble funnet ovenfor.

Tusen takk! Dette var til stor hjelp!

Men lurer på en ting. Hvordan ser man at det er en likefunksjon uten å se grafen?

[tex]f[/tex] er en likefunksjon dersom [tex]f(x)=(-x)[/tex]
[tex]f[/tex] er en oddefunksjon dersom [tex]f(-x)=-f(x)[/tex]

[tex]f[/tex] er symmetrisk omkring [tex]b[/tex] dersom [tex]f(x)=f(b-x)[/tex]
[tex]f[/tex] er odde omkring [tex]b[/tex] dersom [tex]f(b-x)=-f(x)[/tex]

så ja, setter du [tex]b=0[/tex] får du det øverste resultatet.

Nebuchadnezzar wrote:[tex]f[/tex] er en likefunksjon dersom [tex]f(x)=(-x)[/tex]

Likefunksjon hvis [tex]f(x) = f(-x)[/tex] mener du vel?