matematikk.net

Hei!


Jeg har et spørsmål angående føringen min når jeg regner ut bestemte integraler. Jeg syntes dette er viktig for å tjene tid og holde seg systematisk på rett spor under eksamen.


1. [tex]$$\int_1^2 {\left( {3{x^2} + {1 \over {2x}}} \right)dx} = I$$[/tex]

[tex]$$I = \left[ {{x^3} + {1 \over 2}\ln \left( x \right)} \right]_1^2$$[/tex]

[tex]$$I = {2^3} + {1 \over 2}\ln \left( 2 \right) - \left( {{1^2} + {1 \over 2}\ln \left( 1 \right)} \right)$$[/tex]

[tex]$$I = 8 + {1 \over 2}\ln \left( 2 \right) - 1$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {I = 7 + {1 \over 2}\ln \left( 2 \right) \approx 7,35}} $$[/tex]


2. [tex]$$\int_0^{\sqrt \pi } {x\sin \left( {{x^2}} \right)dx} = I$$[/tex]

[tex]$$u = {x^2} \Rightarrow {{du} \over {dx}} = 2x \Rightarrow dx = {1 \over {2x}}du$$[/tex]

[tex]$$x = 0 \Rightarrow u = 0;\;\;x = \sqrt \pi \Rightarrow u = 2\sqrt \pi $$[/tex]

[tex]$$I = \int_{u = 0}^{u = 2\sqrt \pi } {x\sin \left( u \right)} \cdot {1 \over {2x}}du$$[/tex]

[tex]$$I = {1 \over 2}\left[ { - \cos \left( u \right)} \right]_0^{2\sqrt \pi }$$[/tex]

[tex]$$I = {1 \over 2}\left( { - \cos \left( {2\sqrt \pi } \right) - \left( { - \cos \left( 0 \right)} \right)} \right)$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {I = {1 \over 2}\left( {1 - \cos \left( {2\sqrt \pi } \right)} \right) \approx 1,42}} $$[/tex]

3. [tex]$$\int_1^2 {{x^3}\ln x\;dx = } \;I$$[/tex]

[tex]$$u = \ln x \Rightarrow u^\prime = {1 \over x};\;\;\;v^\prime = {x^3} \Rightarrow v = {1 \over 4}{x^4}$$[/tex]

[tex]$$I = {1 \over 4}{x^4} \cdot \ln x - \int {{1 \over x} \cdot {1 \over 4}{x^4}\,{\rm{d}}x} $$[/tex]

Hvordan skal jeg føre inn grensene her? Må jeg skrive:

[tex]$$I = \left[ {{1 \over 4}{x^4} \cdot \ln x - \int {{1 \over x} \cdot {1 \over 4}{x^4}\,{\rm{d}}x} } \right]_1^2$$[/tex]

[tex]$$I = \left[ {{1 \over 4}{x^4} \cdot \ln x - {1 \over 4}\int {{x^3}\,{\rm{d}}x} } \right]_1^2$$[/tex]

[tex]$$I = \left[ {{1 \over 4}{x^4} \cdot \ln x - {1 \over {16}}{x^4}} \right]_1^2$$[/tex]

[tex]$$osv...$$[/tex]


Kan alt føres slik?

1. Ser riktig ut ja (Men du trenger ikke kalle integralet for I når det er en såpass enkel utregning. Du kan bare skrive en lang serie med likhetstegn fra start til slutt.

2. Du finner feil grenser. [tex]u[/tex] er jo gitt ved [tex]u = x^2[/tex]. Du har ikke oppøyd i andre, men ganget med 2.

Det er sikkert en smakssak (vil ikke tro det er feil hvertfall), men du kan godt skrive de nye grensene uten å skrive u = ... Det holder å skrive grensene på vanlig måte. Det står jo [tex]du[/tex] i integralet, som forteller hvilken variabel man integrerer med hensyn på. Men hvis du syns det er ryddigere å gjøre sånn så er det sikkert greit.

3. Du kan enten regne ut det ubestemte integralet først, slik du gjør her, men da ville jeg ikke tatt på grensene før integralet er helt ferdig utregnet. Det vil si helt til slutt. Alternativt kan du ta med grensene hele veien og gjøre noe slik:

[tex]\int_1^2 x^3 \ln x dx = \left[\frac{1}{4}x^4 \ln x\right]_1^2 - \int_1^2 \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4} x^4 dx[/tex] 

og så videre.

Vektormannen wrote:1. Ser riktig ut ja (Men du trenger ikke kalle integralet for I når det er en såpass enkel utregning. Du kan bare skrive en lang serie med likhetstegn fra start til slutt.

2. Du finner feil grenser. [tex]u[/tex] er jo gitt ved [tex]u = x^2[/tex]. Du har ikke oppøyd i andre, men ganget med 2.

Det er sikkert en smakssak (vil ikke tro det er feil hvertfall), men du kan godt skrive de nye grensene uten å skrive u = ... Det holder å skrive grensene på vanlig måte. Det står jo [tex]du[/tex] i integralet, som forteller hvilken variabel man integrerer med hensyn på. Men hvis du syns det er ryddigere å gjøre sånn så er det sikkert greit.

3. Du kan enten regne ut det ubestemte integralet først, slik du gjør her, men da ville jeg ikke tatt på grensene før integralet er helt ferdig utregnet. Det vil si helt til slutt. Alternativt kan du ta med grensene hele veien og gjøre noe slik:

[tex]\int_1^2 x^3 \ln x dx = \left[\frac{1}{4}x^4 \ln x\right]_1^2 - \int_1^2 \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4} x^4 dx[/tex] 

og så videre.

Kjempeflott, dette satt tingene på plass! (med unntak en liten bom i substitusjonen - men det går fort å ordne)

Jeg har spesielt lett etter føringsmåten: [tex]\int_1^2 x^3 \ln x dx = \left[\frac{1}{4}x^4 \ln x\right]_1^2 - \int_1^2 \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4} x^4 dx[/tex]

Yess, nå skal jeg finne meg noen integraler og føre som en matematiker lektor fra NTNU - dette blir veldig bra

Jeg har sett eksempler på "sensorveiledning" der sensorene bes påpasse at studenten skriver at integralet av [tex]\frac{1}{x}[/tex] blir [tex]ln|x|[/tex], altså MED absoluttverditegn.

Det virker ikke alltid viktig, men det er tross alt det, hvis likhetstegnet skal gjelde. Hvis ikke så er det jo faktisk FEIL i halvparten av tilfellene for x.

Ah, en viktig påpekning. Akkurat i disse oppgavene er det ikke nødvendig, da x er positiv (grensene er positive).

Vektormannen wrote:Ah, en viktig påpekning. Akkurat i disse oppgavene er det ikke nødvendig, da x er positiv (grensene er positive).

Det ser jeg, går det greit om jeg alltid kjører absoluttverdi tegn? Det er kanskje litt smør på flesk, men det gjør hvertfall ingen skade.

Ja, det er nok lurt å gjøre det til en vane å bare ta dem med uansett.

Dog sa læreren vår at det vanket ekstra bonuspoeng om en eksempelvis skriver at

[tex]\int \frac{2x}{x^2 + 3} \, dx = \ln \left| x^2 + 3 \right| + \mathcal{C} = \ln \left( x^2 + 3\right) + \mathcal{C}[/tex]

Som en liten tillegsnotis =)

Kommet hjem fra analyse-eksamen Nebu?

Nei, sitter på mobilen min under eksamen og kjeder meg.

Fikk epsilon delta ja... Jaja 5/6 oppgaver er ikke dårlig, masse integrasjon.

Epsilon-delta faktisk. Er ikke så ofte det forekommer på eksamen... Var det et komplisert bevis?

Håper ikke jeg kaprer tråden, men ja. Ikke spesielt vanskelig, bare litt merkelig. Selv ante jeg ikke helt hva jeg skulle gjøre. Fant det dog ut etter eksamen

Anta at [tex]\lim_{x \to a} f(x) = L [/tex] og [tex]\lim_{x \to a} f(x) = M[/tex]

Vis ved bruk av limes at [tex]M = L[/tex]

Ah, kjipt det :/

Den der har vel vært på en av øvingene, men det var jo lenge siden da. Sikkert mange som ikke husket på hvordan man går frem for å vise det der.