matematikk.net

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100 ... -07_bm.pdf

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100 ... -07_lf.pdf

Jeg lurer på oppgave 4. Skjønner ikke noe av hvordan de gjør rede for at funksjonen er invers? Og det ser ut som de har funnet f=2 ved å teste seg fram. Er det sånn de har gjort det?

gill wrote:http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100 ... -07_bm.pdf

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100 ... -07_lf.pdf

Jeg lurer på oppgave 4. Skjønner ikke noe av hvordan de gjør rede for at funksjonen er invers? Og det ser ut som de har funnet f=2 ved å teste seg fram. Er det sånn de har gjort det?

The point of view from a rookie


1. En funksjon har en invers når den kan deriveres! Som de skriver i første setning: "Funksjonen f(x) = x3 − 9x2 + 33x + 45 er deriverbar".

EDIT: OBS; For dere som leser dette, er det jeg skrev ovenfor feil!

2. f=2 får de ved å sette inn f(-1) og så viser de til at funksjonen g er det omvendte av dette.

Razzy: At en funksjon er deriverbar er slettes ikke det samme som at den har en invers!

gill: Det som er det viktige er at den deriverte alltid er positiv. Dette viser de i løsningsforslaget. Det betyr (som de sier der) at funksjonen alltid er voksende. Det betyr at for en hver y-verdi så kan det kun høre med én og bare én x-verdi. Altså er funksjonen én-til-én. Er du med på den argumentasjonen?

Når det gjelder utregningen av [tex]g^\prime(2)[/tex] så har de funnet ut at [tex]f(-1) = 2[/tex]. Kanskje de har gjort det ved å prøve seg frem, men mest sannsynlig har de satt opp ligningen [tex]f(x) = 2[/tex]. Vi er jo ute etter den x-verdien som gjør at f(x) får verdien 2. Den x-verdien vil jo da være funksjonsverdien til g(2).

EDIT: De har nok mest sannsynlig prøvd seg frem, siden ligningen f(x) = 2 blir ganske stygg. Ligningen blir [tex]x^3 - 9x^2 + 33x + 43 = 0[/tex]. På en slik eksamen må man nesten gå ut i fra at tredje (og høyere grads)- ligninger har heltallige løsninger, med mindre ligningen er på en enklere form. Hvis en slik ligning har heltallsløsninger så må disse være en faktor i konstantleddet. Her er konstantleddet 43. 43 er et primtall, så det er ikke så mange alternativer; faktorene i 43 er -1, 1 og 43. Da er det bare å prøve disse ved innsetting, og man får at x = -1 fungerer.

Når du deriverer funksjonen finner du at den er strengt voksende. Altså er den injektiv, og det må finnes en omvendt funksjon.

Siden [tex]g^{\prime}(f(x))=\frac{1}{f^{\prime}(x)}[/tex], og du skal ha [tex]g^{\prime}(2)[/tex], må du finne den x-verdien som løser [tex]f(x)=2[/tex].

Vektormannen wrote:Razzy: At en funksjon er deriverbar er slettes ikke det samme som at den har en invers!

gill: Det som er det viktige er at den deriverte alltid er positiv. Dette viser de i løsningsforslaget. Det betyr (som de sier der) at funksjonen alltid er voksende. Det betyr at for en hver y-verdi så kan det kun høre med én og bare én x-verdi. Altså er funksjonen én-til-én. Er du med på den argumentasjonen?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=coshx

Tja jeg er nok fremdeles litt usikker på definisjonene. For eks coshx er lik samme y for to verdier.

Her er bilde av den

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+coshx&lk=3

Dette ser jo ryddig ut. Er det noen grunn til at man bare vil regne en til en med den inverse eller er det bare definisjon? Her er egen utgreining av invers litt uryddig dessverre selvfølgelig

http://bildr.no/view/1049929

men her gir + og - de to svarene løsning som vist i grafen skulle eg tru.

Hva mener du med om det er en grunn til at man vil regne én til én med den inverse? Inversfunksjonen skal jo være en funksjon, så den kan ikke ha mer enn én funksjonsverdi for hver verdi den får inn. Det betyr at hvis vi har et intervall hvor en funksjon ikke er én til én så kan vi ikke finne en inversfunksjon. Gitt en y-verdi så vet vi jo ikke hvilken x-verdi inversfunksjonen skal sende den til, siden det er flere å velge mellom. Skal man definere en inversfunksjon så må man altså gjøre det på et intervall der funksjonen er én til én. Når det ikke er oppgitt noe mer enn spørsmålet "har f(x) en inversfunksjon" så må man gå ut i fra at de spør om "har f(x) en inversfunksjon på hele R?"

Og ja, som du sier, cosh x er ikke én til én på hele R. Så i utgangspunktet har ikke cosh x en inversfunksjon på hele R. Men når vi begrenser oss til [tex]x \geq 0[/tex] så er den én til én, og vi kan lage oss en inversfunksjon. Merk at her har man bestemt seg for at inversfunksjonen til cosh skal være funksjonen som har verdimengde [tex]\cosh^{-1}(x) \in [0, \infty)[/tex]. Dette er bare et valg man har gjort på samme måte som man har gjort for de inverse trigonometriske funksjonene.

Som vektormannen sier så har ikke cosh x noen inversfunksjon men funksjonen har en invers som wolfram viser til.

Definisjonen av en funksjon er veldig enkel. Hver [tex]x[/tex]-verdi, skal gi en og bare en [tex]y[/tex] verdi. Som vi ser så gir hver [tex]x[/tex] verdi, to [tex]y[/tex] verdier når [tex]x>0[/tex] for den deriverte.

Men dersom vi begrenser definisjonsmengden så har funksjonen en invers, som vektormannen viser til. =)