matematikk.net

Det jeg lurer på er oppgave e og f

Vi har gitt to plan. Alfa: x -2y + z = 2 og Beta: 2x + y + z = 5

a) Vis at P(0,1,4) ligger på skjæringlinja l mellom alfa og beta

Løste ved å lage en parameterframstilling av skjæringslinja (kryssa normalvektorene)
Jeg kunne vel også puttet punktet inn i likningene til begge planen, og hvis punktet hadde vært i begge planene hadde det vært på skjæringslinja

b) Vis at en parameterferamstiling for skjæringslinja er x= -3t og y= 1 + t og z= 4 + 5t

c) Finn vinkelen mellom planene.

Løste med skalprodukt svar: 80,4 grader

d) En kuleflate tangerer planet alfa i punktet A(11,9,9) og planet beta i punktet B. Vis at PA-vektor står vinkelrett på linja l og normalvektoren til planet alfa

Løsning: siden både P og A ligger i alfa planet, ligger også PAvektor i planet, da blir vektoren PA obviously normal med normavektoren til planet, og til skjæringslinja. Regna også ut ved skalarprodukt

e) Gitt at B har negativ x-verdi vis at B(-4,14,-1)

Vet at PA er like lang som PB, men kan jeg bruke det til å finne punkt B. Vet også vinkelen mellom PA og PB (samme som mellom planene). Jeg har prøvd å tenge opp. Da får jeg en diamantformet firkant. Med to sider som er lik radius til sirkelen, og to sider som er lik |PA| = |PB|. Kan jeg bruke dette til å finne punkt B?

f) Finn kordinatene til sentrum av kula

a - c ser bra ut Det du sier om oppgave a) er helt riktig, og det ville vel også vært enklest å bare sette inn i hvert plan.

d) Som du sier så er det helt klart at [tex]\vec{PA}[/tex] står normalt på normalvektoren til planet siden den er parallell med planet, men det er ikke uten videre klart at den også må stå vinkelrett på skjæringslinja. Det må du vise.

e) Det er nok en bra start ja. Det du trenger nå er en vektor i planet [tex]\beta[/tex] som står vinkelrett på skjæringslinja. Da vet du videre som du sier at hvis du går en lengde [tex]|\vec{PA}|[/tex] fra P langs denne vektoren så vil du komme til punktet B. Kan du finne en slik vektor?

f) Har du noen tanker om hvordan du kan gå frem her?

Hmmmm...

Trenger nok et hint om hvordan jeg skal finne denne vektoren i planet som er normal på skjæringslinja ..

Du er ute etter en vektor som er:

1) Vinkelrett til skjæringslinja
2) Ligger i planet (dvs. er parallell med planet.) Det betyr at den må stå vinkelrett på normalvektoren.

Hvordan går du frem for å finne en vektor som er vinkelrett på to andre vektorer?

Takk!

Men to ting:

1: hvorfor ma vektoren være normalt på skjæringlinja
2: Jeg finner punktet B når jeg plusser vektoren på punktet P. Men er ikke helt med på hvorfor jeg får riktig.

Egentlig var det bare en ting, tror jeg skjønner nr2, når jeg får svar på nr 1

Vektoren fra kulas sentrum S til tangeringspunktet A må stå vinkelrett på [tex]\alpha[/tex], og vektoren fra S til tangeringspunktet B må stå vinkelrett på [tex]\beta[/tex]. Siden [tex]\vec{AP}[/tex] står vinkelrett på skjæringslinja så må da også [tex]\vec{PS}[/tex] gjøre det. Men vi kan også uttrykke [tex]\vec{PS}[/tex] som [tex]\vec{PS} = \vec{PB} + \vec{BS}[/tex] der [tex]\vec{BS}[/tex] er parallell med normalvektoren til planet og dermed står vinkelrett på skjæringslinja. Da har vi: [tex]\vec{PS} \cdot \vec{r} = 0 \ \Leftrightarrow \ (\vec{PB} + \vec{BS}) \cdot \vec{r} = \vec{PB} \cdot \vec{r} + \vec{BS} \cdot \vec{r} = \vec{PB} \cdot \vec{r} + 0 = 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{PB} \cdot \vec{r} = 0 \ \Leftrightarrow \vec{PB} \perp \vec{r}[/tex], der [tex]\vec{r}[/tex] er retningsvektoren til skjæringslinja.

Kanskje enklere å se det slik: Du skreiv i sted at du hadde tegnet en figur der du fikk en diamantformet firkant. Den tegningen du har tegnet der viser planene som rette linjer på arket, ikke sant? Og så kommer skjæringslinja mellom dem "rett ut av arket" for å si det sånn. (Jeg antar det er en slik figur du refererer til.) Er du enig i at siden [tex]\vec{PA}[/tex] på den figuren står vinkelrett på skjæringslinja, og skjæringslinja kommer vinkelrett ut av arket, så må også alle andre vektorer som tegnes inn på arket være vinkelrett på skjæringslinja?

TAkk! Nå skjønte jeg oppgv e

(Du hadde rett med tanke på figuren min også forresten )

Men oppgave F.. Står ikke AS-vektor nomalt på både skjæringslinja l, og AP-vektor?? Prøvde å krysse retningsvektoren til linja l og vektoren AP etter samme prinsipp som i oppgave e, men får feil svar.. Tenker jeg riktig?

Nei, det virker som du tenker litt for komplisert nå.

Her er det flere måter å gå frem på. Den som kanskje er greiest er følgende: Hvis du kan lage deg en parameterfremstilling av de to linjene som går gjennom S og henholdsvis A og B, er du enig i at S må være krysningspunktet mellom disse?

Det du trenger for å lage parameterfremstillinger for disse linjene er retningsvektorene. Linja som går gjennom B skal stå normalt på planet [tex]\beta[/tex]. Hva blir da en mulig retningsvektor for den linja? (Husk at du har planligningen til [tex]\beta[/tex].)

Den andre fremgangsmåten tar i bruk trigonometri. Hvis du ser på figuren din så har du denne diamantformede firkanten. Hvis du trekker et linjestykke fra P til S, ser du at du får to like rettvinklede trekanter PAS og PBS? Du kan finne radien til kula ved å se på en av disse trekantene (og når den er kjent så kan du finne S sine koordinater, ikke sant?) Vinkelen SPA er nødvendigvis halvparten av vinkelen mellom planene som du fant tidligere. La oss kalle vinkel SPA for [tex]\theta[/tex]. Da vet du fra b) at [tex]\cos 2\theta = \frac{1}{6}[/tex]. Ved å dra nytte av følgende trigonometriske identitet kan du finne en verdi for [tex]\tan \theta[/tex]: [tex]\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta[/tex]. (Husk på at [tex]\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}[/tex].) Når du kjenner [tex]\tan \theta[/tex] så kan du finne radien. Ser du hvordan?

ja, jeg skjønte, takk Brukte metode 1 og fikk riktig svar!

Men jeg er ikke fornøyd ennå ..

1: Hvorfor fikk jeg feil når jeg brukte min oprinnelige løsningsmetode ved å krysse AP-vektor og linja l

2: Ja jeg er med på hvordan man finner radiusen ved hjelp av trigonometri. Men kan man finne koordinatene til sentrum vha radiusen og 2 punkter på kuleoverflaten? isåfall hvordan?

1. Du skulle teknisk sett ikke fått galt svar. Når du gjør det så får du en vektor som står normalt på planet, men det har du jo allerede fra planligningen. Jeg mente ikke at det var galt å gjøre det, men det er ikke behov for det når du allerede har en normalvektor. Hvis du tar kryssproduktet av retningsvektoren og vektor AP så skal du få en vektor som er parallell med normalvektoren i planligningen. Hvis ikke har du gjort noe galt. Jeg vet ikke hva du hadde tenkt å gjøre videre med den vektoren du fant heller?

2. Du vet retningen fra A til S (normalvektoren) og du vet hvor langt du skal gå (radius). Da kan du finne [tex]\vec{AS}[/tex], ikke sant?

ok, jeg skjønner, Tusen takk