matematikk.net

Vi har en terning ABCDEFGH med grunnflata ABCD, toppflata EFGH og sidelengda 1.

b) Finn vinkelen mellom AG og BD

Dette virket veldig lett men så stoppet det opp

Jeg ser jo med tegning ovenfra at denne vinkelen er 90°, men hvordan skal jeg dokumentere svaret med regning?

Rød linje er BD parallellflyttet

Hva med vektorregning? Du kan uttrykke [tex]\vec{AG}[/tex] som [tex]\vec{AE} + \vec{EG}[/tex]. Husker du hva som er ekvivalent med at to vektorer står vinkelrett på hverandre?

Boken tar ikke for seg 3d vektorer før neste delkapittel. Dette delkapitlet omhandler bare pyramider og vinkler mellom plan og linjer.

Men jeg kan vel bruke projeksjonen av AG på det nederste planet:

[tex]$${\vec {AG} _\alpha } \cdot \vec {BD} = \left[ {1,\,\,1} \right] \times \left[ { - 1,\,\,1} \right] = 1 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 1} \right) = 0$$[/tex]

Dette så bra ut tror eg c^^

Jeg tenkte vel mer på en ren geometrisk vektorregning (uten koordinater.) Men det ser da forsåvidt rett ut det der også

Du kunne ha gjort noe sånt som dette: [tex]\vec{AG} \cdot \vec{BD} = (\vec{AE} + \vec{EG}) \cdot \vec{BD} = \vec{AE} \cdot \vec{BD} + \vec{EG} \cdot \vec{BD}[/tex].

Siden sidene i terningen står vinkelrett på hverandre (per definisjon) så har vi nå at sidekanten AE står vinkelrett på linjestykket BD, ikke sant? Vi har også at BD står vinkelrett på EG, siden disse er motsatte diagonaler.

Altså er [tex]\vec{AG} \cdot \vec{BD} = \vec{AE} \cdot \vec{BD} + \vec{EG} \cdot \vec{BD} = 0 + 0 = 0[/tex].

Jeg kom fram til dette som ser ganske bra ut.
[tex]$$\left( {\vec {AC} + \vec {CG}} \right) \cdot \left( \vec {BD} \right) = \vec {AC} \cdot \vec {BD} + \vec {CG} \cdot \vec {BD} = 0 + 0$$[/tex]



Stemmer alltid dette?
[tex]$${\vec {AG} _\alpha } \bot \vec {BD} \Leftrightarrow \vec{AG} \bot \vec {BD} $$[/tex]

Takk for hjelpen som alltid


Btw, bruker du/dere noen 3d geometri programmer? Cabri 3d var veldig tøft.

Ja, det stemmer alltid, med noen antagelser. Du kan alltid dekomponere en vektor [tex]\vec{u}[/tex] til en komponent [tex]\vec{u}_\alpha[/tex] som er parallell med et plan [tex]\alpha[/tex] og en komponent [tex]\vec{u}_\perp[/tex] som står vinkelrett på planet [tex]\alpha[/tex]. Med andre ord kan du alltid skrive [tex]\vec{u} = \vec{u}_\alpha + \vec{u}_\perp[/tex]. (Kanskje litt uvanlig notasjon, men...)

Så hvis vi endrer påstanden din til [tex]\vec{u}_\alpha \perp \vec{v} \ \Leftrightarrow \ \vec{u} \perp \vec{v}[/tex] så stemmer det alltid ja.

Dette kan du jo prøve å bevise? Det blir et veldig likt bevis som det geometriske beviset du gjorde nå nettopp.

Jeg bruker ikke noe særlig med 3D-programmer, egentlig. Det eneste jeg har brukt litt da jeg tok flerdimensjonal analyse var Maple. Ellers har jeg brukt det innebygde Grapher i OS X av og til.