matematikk.net

Bestem den generelle løsningen til den inhomogene differensial likningen

[tex]y^{\prime \prime } - 4y^\prime + 4y = 5{e^x}[/tex]


Mitt løsningsforslag:


Tilhørende homogene ligning: [tex]y^{\prime \prime } - 4y^\prime + 4y = 0[/tex]

Karakteristiske ligning: [tex]$${\lambda ^2} - 4\lambda + 4 = 0$$[/tex]

[tex]$${\lambda _{1,2}} = {{ - \left( { - 4} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot 4} } \over {2 \cdot 1}} = {{4 \pm 0} \over 2} = 2 \pm 0 \Rightarrow \underline {{\lambda _1} = {\lambda _2} = 2} $$[/tex]

[tex]$$\underline {{y_h} = \left( {{C_1} + x{C_2}} \right){e^{2x}}} $$[/tex]


Når jeg skal finne den partikulære løsningen er jeg litt usikker:

Neste steg er å velge [tex]$${y_p} = A{e^{1 \cdot x}}$$[/tex] basert på H.S. i opprinnelig ligning.

Merk her kan det forekomme et spesialtilfelle: Hvis [tex]$${y_h}$$[/tex] (den homogene løsningen) inneholder [tex]$${e^{1 \cdot x}}$$[/tex], vil ikke dette gi noen løsning og vi er nødt til å prøve [tex]$${y_p} = Ax{e^{1 \cdot x}}$$[/tex] istedet.


[tex]$${y_p} = A{e^{1 \cdot x}} \Rightarrow {{y^\prime}_p} = A{e^{1 \cdot x}} \Rightarrow {{y^{\prime \prime }}_p} = A{e^{1 \cdot x}}$$[/tex]

Var ikke dette merkelig?

Innsatt i opprinnelig ligning: [tex]y^{\prime \prime } - 4y^\prime + 4y = 5{e^x}[/tex]

[tex]$$\left( {A{e^{1 \cdot x}}} \right) - 4\left( {A{e^{1 \cdot x}}} \right) + 4\left( {A{e^{1 \cdot x}}} \right) \equiv 5{e^x}$$[/tex]

[tex]$$A{e^{1 \cdot x}} \equiv 5{e^x} \Rightarrow A = 5$$[/tex]


[tex]$$y = {y_h} + {y_p}$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {y\left( x \right) = \left( {{C_1} + x{C_2}} \right){e^{2x}} + 5{e^x}}} $$[/tex]


Spørsmål:

1. Har jeg bommet når det gjelder den partikulære løsningen?
2. Kjenner dere igjen det jeg forteller om "spesial tilfellet" ?

1. Nei, du har ikke bommet!
2. Ja, hvis det hadde stått [tex]5e^{2x}[/tex] på høyre side så ville du vel fått problemer med å finne en slik partikulærløsning. Men her har du ikke samme eksponent.

Et spørsmål og et hint

1. IKKE BRUK ANDREGRADSFORMELEN!!!!!!!!!!

2. gjelder dette problemet ellers og? Eksempelvis om løsningene hadde vært komplekse, og høyresiden inneholdt sinus?

Nebuchadnezzar wrote:Et spørsmål og et hint

1. IKKE BRUK ANDREGRADSFORMELEN!!!!!!!!!!

Hvorfor ikke?

Fordi det som oftest finnes raskere, og enklere metoder. Eneste gangen denne formelen bør bli brukt, er ved stygge uttrykk. Og en kan på ingen måte si at tallene i oppgaveteksten er stygge.

Både inspeksjon, og Viètes "formel" er langt mer effektive metoder i dette tilfellet.

Nebuchadnezzar wrote:Fordi det som oftest finnes raskere, og enklere metoder. Eneste gangen denne formelen bør bli brukt, er ved stygge uttrykk. Og en kan på ingen måte si at tallene i oppgaveteksten er stygge.

Både inspeksjon, og Viètes "formel" er langt mer effektive metoder i dette tilfellet.

Med andre ord et ganske idiotisk "hint" all den tid du ikke skriver hvorfor, og i hvilke tilfeller han burde og ikke burde bruke den.

Nebuchadnezzar wrote:Et spørsmål og et hint

1. IKKE BRUK ANDREGRADSFORMELEN!!!!!!!!!!

2. gjelder dette problemet ellers og? Eksempelvis om løsningene hadde vært komplekse, og høyresiden inneholdt sinus?

1. "Man skal aldri svare et besvart spørsmål med et spørsmål"; men som claudeShannon spør: Hvorfor ikke?

2. Fra notatene mine står det at hvis jeg får et sinus eller cosinus uttrykk på H.S. når jeg skal velge den partikulære løsningen skal jeg velge:

[tex]$$A\sin px + B\cos px$$[/tex]

Dette ville isåfall gjort at vi kunne løst ligningen og at det ikke gjelder når det står sinus eller cosinus på H.S. av den homogene ligningen?

EDIT: Ser nå at dere har postet før jeg rakk og poste dette

Nebuchadnezzar kunne du vist meg enkelt hvordan jeg finner løsningen av feks andregradsligningen: [tex]$${x^2} - 4x + 3 = 0$$[/tex]

Vektormannen wrote:1. Nei, du har ikke bommet!
2. Ja, hvis det hadde stått [tex]5e^{2x}[/tex] på høyre side så ville du vel fått problemer med å finne en slik partikulærløsning. Men her har du ikke samme eksponent.

Takk og utrolig det var bra at jeg ikke bommet - ulikt meg.

http://www.2shared.com/document/jr_YQ3w6/Kokebok.html

Står det noen lange utledninger på hvordan en faktoriserer ulike uttrykk, du kan også titte innom tråden i nøtteforumet med ulike faktoriseringsoppgaver.

Kort sat kan vi for eksempel legge merke til at

metode1

[tex]x^2 - 4x + 3 = 0[/tex]
[tex]x^2 - x - 3x + 3 = 0[/tex] (vi deler opp, i to deler)
[tex]x(x - 1) - 3(x - 1) = 0[/tex] (faktoriserer ut felles faktor)
[tex](x-1)(x-3) = 0[/tex]

metode1

Dersom et polynom bare har heltallsløsninger, vill disse alltid være delige på konstantleddet (gjelder for alle grader av polynomer). Anta at vi har et andregradspolynom på formen [tex]x^2+bx+c[/tex] som kan faktoriseres til [tex](x+m)(x+n) = 0[/tex] der [tex]m[/tex] og [tex]n[/tex] er heltall. Ganger vi ut ser vi at

[tex](x+m)(x+m) = x^2 + (n+m)x + nm[/tex]

Så dersom et andregradspolynom, har heltallsrøtter vil disse alltid være slik at. [tex]n+m = b[/tex] og [tex]nm = c[/tex]

\Slutt på teori

[tex]x^2 - 4x + 3 = 0[/tex]

Vi leter etter to tall vi kan gange sammen for å få 3. [tex]nm = c[/tex]

(Vi begynner alltid å lete etter nm=c siden det finnes uendelig mange løsninger for [tex]n+m = b[/tex] )

Er ikke så mange muligeter

[tex](-3)(-1)[/tex] og [tex](3)(1)[/tex]

Her ser vi om noen av disse tallene er slik at [tex]n+m=b=-4[/tex]. Første gir [tex](-3)+(-1)=-4[/tex] og andre [tex](3)(1)=3[/tex]
Altså har vi funnet løsningene våre. (vi kan stoppe etter å ha funnet løsningen får, et andregradspolynom har bare en unik faktorisering) Fordi vi har funnet to tall slik at

[tex]n+m = b[/tex] og [tex]nm = c[/tex] (her er [tex]-3=m[/tex] og [tex]n=-1[/tex])
[tex]x^2 - 4x + 3 = 0[/tex]
[tex](x-1)(x-3) = 0[/tex]

Mye raskere... å finne disse to tallene, går fort i hodet. Og å se hvilke av de som når lagt sammen gir midtleddet er også raskt.

[tex]x^2 - x - 6[/tex] eksempelvis

Takk Nebuchadnezzar!

Dette skal jeg ta med meg og forsøke, men tror jeg vil være litt forsiktig med å bruke det på eksamen siden det er nytt for meg også vet jeg ikke hvordan sensoren vil reagere.

Uansett, tusen takk som tok deg tid til å vise dette - det kommer garantert til nytte i fremtiden!

Razzy wrote: Dette skal jeg ta med meg og forsøke, men tror jeg vil være litt forsiktig med å bruke det på eksamen siden det er nytt for meg også vet jeg ikke hvordan sensoren vil reagere.

Hvis du løser med andregradsformelen som du føler deg komfortabel med, så taper du ingenting. Men du kan vinne ekstra på å se om du får samme svar med andre metoder. Kladd gjerne. Får du riktig, så før det inn.

Ingenting er bedre enn ekstrapoeng for bevist forståelse

Nebuchadnezzar wrote:metode1

1. [tex]x^2 - 4x + 3 = 0[/tex]
2. [tex]x^2 - x - 3x + 3 = 0[/tex] (vi deler opp, i to deler)
3. [tex]x(x - 1) - 3(x - 1) = 0[/tex] (faktoriserer ut felles faktor)
4. [tex](x-1)(x-3) = 0[/tex]

Hva skjer egentlig fra linje 3 til 4?

Og vil denne metoden fungere på det meste av andregradsformeler? Hvordan går det hvis vi får komplekse løsninger?

(kan ikke teste selv siden jeg ikke har skjønt det som skjer fra linje 3 til 4)


Aleks855: Ekstrapoeng er jeg allti ute etter

Han faktoriserer ut (x-1).

http://www.youtube.com/watch?v=bHEHUIi69Vk

Kan også sees litt lettere om en setter [tex]a=(x-1)[/tex]
[tex]x(x-1)-3(x-1)[/tex]
[tex]x\cdot a-3\cdot a[/tex]
[tex]a\cdot( x-3 )[/tex]

=)

Metoden funker dog bare om løsningene er heltall, eller kan skrives som brøker. Men som sagt 90% av alle andregradsfunksjoner en møter i skolen er på denne formen. Så da holder jeg andregradsformelen i bakhånd, i disse spesialtilfellene der løsningene ikke kan skrives som [tex]x=a/b[/tex]. Tror jeg kan telle antall ganger jeg har fått bruk for den gjennom videregående og nå universitetet på en hånd...

Nebuchadnezzar wrote:http://www.youtube.com/watch?v=bHEHUIi69Vk

Kan også sees litt lettere om en setter [tex]a=(x-1)[/tex]
[tex]x(x-1)-3(x-1)[/tex]
[tex]x\cdot a-3\cdot a[/tex]
[tex]a\cdot( x-3 )[/tex]

=)

Metoden funker dog bare om løsningene er heltall, eller kan skrives som brøker. Men som sagt 90% av alle andregradsfunksjoner en møter i skolen er på denne formen. Så da holder jeg andregradsformelen i bakhånd, i disse spesialtilfellene der løsningene ikke kan skrives som [tex]x=a/b[/tex]. Tror jeg kan telle antall ganger jeg har fått bruk for den gjennom videregående og nå universitetet på en hånd...

Tøft, tror jeg begynner på få dreisen på denne metoden nå

Tidligere skrev du:

Både inspeksjon, og Viètes "formel" er langt mer effektive metoder i dette tilfellet.

Blir denne metoden kalt "Inspeksjons metoden" ? Eller bare "Vugge metoden" ?