matematikk.net

I funksjonsuttrykket [tex]f(x)=\frac{x+a}{bx+c}[/tex] er [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] konstanter.
Finn [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] når [tex]f[/tex] har et nullpunkt for [tex]x=2[/tex], bruddpunkt for [tex]x=1[/tex] og en horisontal asymptote for [tex]y=-1[/tex].

Jeg starter med å finne [tex]a[/tex]:
[tex]2+a=0[/tex]
[tex]a=-2[/tex]

Deretter forsøker jeg å finne [tex]b[/tex] eller [tex]c[/tex]. Kommer ikke lenger enn til:
[tex]b\cdot1+c=0[/tex]
[tex]b=-c[/tex]

Det eneste jeg vet om [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex], er altså at de er samme tall med omvendt fortegn.

Setter opp en ligning med y-verdien:

[tex]\frac{x+a}{bx+c}=-1[/tex]

Setter inn et stort tall for [tex]x[/tex]

[tex]\frac{1000-2}{1000b+c}=-1[/tex]

Ved å prøve meg frem ser jeg så at b=-1 og c=1, men det finnes sannsynligvis en mer elegant måte å løse oppgaven på?

Hvis jeg ikke husker feil så holder du på med 1T-pensumet, så såkalte grenseverdier ([tex]\lim[/tex]) er vel ikke noe du har vært borti enda?

Det som uansett er en mer elegant måte å gjøre det på er å faktorisere uttrykket ditt. Du har, med det du har funnet nå, at f(x) kan skrives som [tex]f(x) = \frac{x-2}{bx - b}[/tex]. Trikset er nå å faktorisere ut x oppe og nede: [tex]f(x) = \frac{x(1 - \frac{2}{x})}{x(b - \frac{b}{x})}[/tex]. Nå har vi en felles faktor x som vi kan stryke, og står igjen med [tex]f(x) = \frac{1 - \frac{2}{x}}{b - \frac{b}{x}}[/tex]. Kan du tenke deg hva som skjer når x blir veldig stor?

Takk for svar! Det stemmer at jeg holder på med 1T. Grenseverdier kommer senere i boken, i forbindelse med derivasjon.

Jeg er med på faktoriseringen du gjorde, og jeg ser at jeg hadde nok informasjon til å fjerne c fra ligningen jeg satte opp.

Nå har jeg altså funksjonen [tex]f(x)=\frac{1-\frac{2}{x}}{b-\frac{b}{x}}[/tex].

[tex]f(1000)[/tex] blir da [tex]\frac{1-\frac{2}{1000}}{b-\frac{b}{1000}}[/tex]

Nå kan jeg sette opp en ligning igjen for å finne verdien av b:

[tex]\frac{1-\frac{2}{1000}}{b-\frac{b}{1000}}=-1[/tex]

Da får jeg tilnærmet [tex]\frac{1}{b}=-1[/tex] som gir at [tex]b=-1[/tex].

Har jeg skjønt det?

Jada, du har skjønt det

Når man introduserer grenseverdier så sier man at når x går mot uendelig så vil 2/x og b/x gå mot 0. (Det vil si: desto større vi lar x bli, desto nærmere vil brøkene 2/x og b/x komme 0.) Da står man igjen med 1/b. Med symboler så skriver vi da [tex]\lim_{x \to \infty} \ \frac{1-\frac{2}{x}}{b-\frac{b}{x}} = \frac{1-0}{b-0} = \frac{1}{b} = -1 \ \Rightarrow \ b = -1[/tex].

Tusen takk! Fikk lyst til å hoppe rett til kapitlet om grenseverdier/derivasjon nå, men det er vel best å stole på at det er en tanke bak bokens kapittelinndeling

Hvis du har lyst så kan du jo bare gjøre det! Hva er det kapitlene mellom det du holder på med nå og derivasjonskapittelet handler om da?

Det er tre kapitler før derivasjonskapitlet: 1. Potenser og logaritmer, 2. Trigonometri og 3. Matematiske modeller og vekstfart.

Det jeg ser, er at enkelte ting fra de foregående kapitlene nå skal løses ved hjelp av derivasjon (bl.a. «regn ut vekstfarten», «finn likningen for tangenten»). Jeg har veldig spinkelt mattegrunnlag fra tidligere, så jeg er redd for å gjøre ting vanskeligere enn nødvendig.

Spesielt det tredje kapittelet du nevner (om vekstfart) er nok litt viktig å få med seg først i alle fall. Tangentligninger kan du forsåvidt finne allerede. Det er bare snakk om å finne ligningen til en rett linje med et stigningstall gitt ved den deriverte til funksjonen. Men hvis du har et litt spinkelt grunnlag som du sier, så er det kanskje best å ta ting steg for steg. Det blir uansett nok derivasjon i R1 og R2 (hvis du skal ta det?) for å si det slik

Gleder meg forsåvidt til alle de tre kapitlene, så jeg har vel et luksusproblem Planen er å ta både R1 og R2, så som du sier har jeg mye å se frem til

Ja, det vil jeg si.

Alle kapitlene du nevner er egentlig nyttige ting som du får bruk for igjen og igjen. Logaritmer er f.eks. nøkkelen til å løse ligninger på en lignende form som [tex]a^x = b[/tex], altså der x er i eksponenten til en potens, og de trigonometriske funksjonene gjør at du kan finne hvor mange grader en vinkel er, finne ukjente sider og areal av trekanter (som ikke nødvendigvis er rettvinklede lenger) osv. Alt dette er ting som kommer igjen og igjen i R1, R2 (and beyond ...)

I R1 lærer du ting som å vise at [tex]\sqrt{2}[/tex] er et irrasjonalt tall. (At det ikke kan skrives som en brøk). du lærer å finne den minste høyden mellom to funksjoner. (For eksempel [tex]h(x)=x^2[/tex] og [tex]g(x)=x+6[/tex]) Du lærer hvor mange unike måter 5 personer kan sitte rundt et bord på. Du lærer hvordan ulike geometriske problemer kan bli løst via vektorer. Og du får en "grundig" innføring i funksjoner. Og litt bevisføring.
Finne en formel for en sirkel, og beregne avstander mellom ulike punkt.
Du får også en "middels god" innføring i logaritmer, som er ganske nyttige. Logaritmer kan bli brukt til å finne antall siffer i tall, gjøre beregninger raskere, og også finne ut hvilket tall en må opphøye 4 i for å få 96.

I R2 lærer du hvordan du kan finne arealet under ulike geometriske figurer. For eksempel arealet under x^2 fra 0 til 4. Du lærer også hvordan du kan beregne antall kaniner på en øy, når du vet at de fordobler seg hvert år, og at 10% av bestanden dør hvert år. Du lærer om vektorer i tre dimensjoner. For eksempel finne arealet av en tredimensjonal pyramide.
Du lærer om hvordan du kan vise at [tex]n^3-n[/tex] alltid er delelig på [tex]6[/tex]. Du lærer om hvordan du kan utlede ulike geometriske formler gjennom integrasjon. Volumet av en kjegle, og volumet av en sfære.

Håper jeg klarer å holde koken gjennom 1T, R1 og R2 slik at jeg lærer disse tingene ... I så måte er dette forumet fantastisk