Diff.lign - integrerene faktor
Posted: 18/12-2011 12:50
[tex]$$xy^\prime + 3y = {{\cos x} \over {{x^2}}}\;\;\;\;\;\;,\;x\; >\; 0$$[/tex]
En Integrerende Faktor (I.F.) er en funksjon vi ganger likningen med, slik
at vi kan integrere den opp direkte. Det er oftest vanskelig (eller umulig) å finne svaret på diff.lign uten denne.
[tex]$$xy^\prime + 3y = {{\cos x} \over {{x^2}}}\;\;\left| { \cdot {1 \over x}} \right.$$[/tex]
Vi blir kvitt x-sen foran y (dette må vi alltid gjøre) og vi kan trygt gjøre det siden [tex]x\; >\; 0[/tex]
[tex]$$y^\prime + {3 \over x}y = {{\cos x} \over {{x^3}}}$$[/tex]
[tex]$$u\left( x \right) = {e^{\int { + {3 \over x}\;dx} }} \;= {e^{3\ln \left| x \right|\; + \;C}} = {e^{\ln {{\left( x \right)}^3}}} \cdot {e^C} = A{x^3} \Rightarrow {x^3}\;\left( {I.F.} \right)$$[/tex]
[tex]$$A\;er\;satt\; = \;1\;\;og\;\;x\; > \;0$$[/tex]
[tex]$${\left( {{x^3} \cdot y} \right)^\prime } = {x^3} \cdot {{\cos x} \over {{x^3}}} = \cos x$$[/tex]
Vi har nå multiplisert alle ledd med den I.F, også stoler vi på at produktregelen baklengs gir oss V.S.
[tex]$${x^3} \cdot y = \int {\cos x\;dx = \sin x + C} \;\;\;\;\left| { \cdot {1 \over {{x^3}}}} \right.$$[/tex]
Vi integrerer begge sider og igjen kan vi trygt dele med variabelen x siden den er [tex]x\; >\; 0[/tex]
[tex]$$\underline{\underline {y\left( x \right) = {{\sin x} \over {{x^3}}} + {C \over {{x^3}}}}} $$[/tex]
Alle løsninger av likningen vår kan da skrives slik.
Ser dette bra ut?
En Integrerende Faktor (I.F.) er en funksjon vi ganger likningen med, slik
at vi kan integrere den opp direkte. Det er oftest vanskelig (eller umulig) å finne svaret på diff.lign uten denne.
[tex]$$xy^\prime + 3y = {{\cos x} \over {{x^2}}}\;\;\left| { \cdot {1 \over x}} \right.$$[/tex]
Vi blir kvitt x-sen foran y (dette må vi alltid gjøre) og vi kan trygt gjøre det siden [tex]x\; >\; 0[/tex]
[tex]$$y^\prime + {3 \over x}y = {{\cos x} \over {{x^3}}}$$[/tex]
[tex]$$u\left( x \right) = {e^{\int { + {3 \over x}\;dx} }} \;= {e^{3\ln \left| x \right|\; + \;C}} = {e^{\ln {{\left( x \right)}^3}}} \cdot {e^C} = A{x^3} \Rightarrow {x^3}\;\left( {I.F.} \right)$$[/tex]
[tex]$$A\;er\;satt\; = \;1\;\;og\;\;x\; > \;0$$[/tex]
[tex]$${\left( {{x^3} \cdot y} \right)^\prime } = {x^3} \cdot {{\cos x} \over {{x^3}}} = \cos x$$[/tex]
Vi har nå multiplisert alle ledd med den I.F, også stoler vi på at produktregelen baklengs gir oss V.S.
[tex]$${x^3} \cdot y = \int {\cos x\;dx = \sin x + C} \;\;\;\;\left| { \cdot {1 \over {{x^3}}}} \right.$$[/tex]
Vi integrerer begge sider og igjen kan vi trygt dele med variabelen x siden den er [tex]x\; >\; 0[/tex]
[tex]$$\underline{\underline {y\left( x \right) = {{\sin x} \over {{x^3}}} + {C \over {{x^3}}}}} $$[/tex]
Alle løsninger av likningen vår kan da skrives slik.
Ser dette bra ut?