matematikk.net

lim 2xcos(1/x) når x -> 0
i følge LF er dette 0.

Meen! cos(1/x) finnes vel ikke? Fordi den bare går opp og ned mellom 1 / -1.
Kan du gange en eksisterende grense med en ikke-eksiterende grense og få en faktisk grense?

Uansett hvilket tall mellom -1 og 1 du ganger med 0, får du null. Når du lar x gå mot null, vil den grafen svinge mer og mer, men amplitudene blir samtidig mindre.

Åja!

Så fordi cos(1/x) alltid har en verdi når x går mot 0, det er bare vanskelig å si akkurat hvilken, så kan man få en grense når man ganger med 0? Men hvis man hadde ganget med 2 feks, da hadde den ikke eksistert nei?

Når du plusser sammen en grense som eksisterer og en grense som ikke eksisterer, kan du da få en grense som eksisterer?

Nei, men dersom du legger sammen to grenser som ikke eksisterer kan du få en grense som eksisterer. Det mest klassiske eksempelet er

[tex] \lim_{x \to \infty}\:{\sin^2x}\:+\:{\cos^2x} [/tex]

=)

EDIT:

Idiotisk feil

Hva får man da? 1?

Man får 1 ja. Litt av trikset her er at selv om man har uttrykk på formen

[tex]\infty - \infty [/tex]

Så er det ikke sikkert dette blir null! Det er fordi uendelig er en grense og ikke et tall, og operasjonen subtraksjon, divisjon er ikke definert for grenser.

Et annet eksempel er

[tex]\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x[/tex]

Her tenker du kanskje at det inne i parentesene vokser mot 1, og da står vi igjen med

[tex]1^{\infty}[/tex] og dette må jo bli [tex]1[/tex] ?

Dette er ikke riktig for heller ikke eksponensiering er definert for uendelig, eller grenser generell. Det kan jo være at funksjonen går veeeldig sakte mot 1, mens eksponensieringen vokser kjempefort. Da går ikke funksjonen mot 1. I dette tilfellet så har vi at


[tex]\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e[/tex]

For å slippe på alt dette her, er det bedre å bare bruke kjenteregneregler.

L`hoptial, sammenligningstesten, ta logaritmen på begge sider osv.

Det enkleste er vel å vise dette gjennom bruk av skviseteoremet:

Vi har:

[tex]-1 \leq cos(\frac{1}{x}) \leq 1[/tex]

[tex] -2x \leq 2xcos(\frac{1}{x}) \leq 2x[/tex]

Ettersom

[tex]\lim_{x \to 0} -2x = 0[/tex]

og

[tex]\lim_{x \to 0} 2x = 0[/tex]

følger det av skviseteoremet at

[tex]\lim_{x \to 0} 2xcos(\frac{1}{x}) = 0[/tex]

Oki, men den hang jeg med på! Tenkte noe i den dur, men klarte ikke å formulere det helt riktig