matematikk.net

Where, if anywhere, do the curve fail to be smooth?

[tex]x = t \sin t \quad y=t^3[/tex]

Nå tenker jeg at en kurve ikke er glatt der den ikke deriverbar. Som igjen kan bli sett på som der stigningstallet til funksjonen ikke er entydig bestemt.

Slik jeg regner på det får jeg at stigningstallet til kurven, for en gitt t er gitt som

[tex] a = \frac{\text{d}x}{\text{d}y} = \frac{3t^2}{\sin(t) + t\cos(t)} [/tex]

Uttrykket ovenfor er udefinert dersom telleren er null. Dette skjer eksempelvis når [tex]t=0[/tex]. Men teller er også null uendelig mange andre plasser, og disse er ikke mulig å entydig bestemme...

Så hvorfor oppgir boken at funksjonen kun ikke er glatt dersom [tex]t=0[/tex]. Hvorfor er ikke funksjonen "uglatt?" når [tex]t\approx2.02[/tex] for eksempel?

Man må kreve [tex]dx/dt=dy/dt=0[/tex] for å få et singulært punkt på en plan parametrisert kurve.

Den er grei!

Men hva er det som skjer når [tex]dx = 0[/tex] da?

fish wrote:Man må kreve [tex]dx/dt=dy/dt=0[/tex] for å få et singulært punkt på en plan parametrisert kurve.

Dette er et nødvendig, men ikke tilstrekkelig krav. En parameterisk kurve er deriverbar i et punkt hvis og kun hvis lengdeparameteriseringen [tex]\left[ x(s),y(s)\right][/tex] er deriverbar der. (Lengdeparameterisering: [tex]\left(\frac{\partial x}{\partial s}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial s}\right)^2=1[/tex] )

Edit: Skjønt det blir noe overkill på denne oppgaven...