matematikk.net

Vi har såvidt kommet igang med Lineær Algebra på høyskolen, og jeg kaster ut litt spørsmål her for jeg vil virkelig lære faget, og ikke bare løse oppgavene.

Foreløpig er jeg litt usikker på en del begreper. Dette er slik jeg har oppfattet det, så jeg ser etter rettelser eller bekreftelser der noen kan bidra med det.

Kolineære vektorer er vektorer som ligger på samme linje hvis begge plasseres i origo. Altså betyr kolineær bare parallell?

Span, altså det engelske ordet. Hva er det på norsk? Slik jeg har oppfattet det, så er "span" av to ikke-parallelle vektorer lik [tex]\mathbb{R}^2[/tex] fordi enhver annen vektor i [tex]\mathbb{R}^2[/tex] kan tolkes som en lineær kombinasjon av de to foregående.

Er det da slik å forstå at retningsvektorene [tex]\hat \imath[/tex] og [tex]\hat \jmath[/tex] danner grunnlaget for de standard 2D-grafene vi tegner mye på i løpet av VGS?

Lineær (u)avhengighet står jeg fast på. Et skudd i blinde: Gitt to vektorer [tex]\vec v_1, \vec v_2[/tex], der "span"et mellom dem danner et plan. En tredje vektor [tex]\vec v_3[/tex] vil være lineært avhengig av disse to hvis den kan fremstilles som en lineær kombinasjon av [tex]\vec v_1, \vec v_2[/tex]. Den er derimot uavhengig dersom den bryter ut av planet, og legger til en ny dimensjon i "tegninga".

Og mens vi er på sporet. Vil da [tex]span(\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3) = \mathbb R^3[/tex]? Eller MÅ den tredje vektoren være ortogonal med planet som dannes av de to foregående?



På forhånd mange takk for svar!

Aleks855 wrote:Kolineære vektorer er vektorer som ligger på samme linje hvis begge plasseres i origo. Altså betyr kolineær bare parallell?

Må vel anta det. Jeg har aldri hørt begrepet "kolineær" brukt om vektorer før, kun om punkter.

Aleks855 wrote:Span, altså det engelske ordet. Hva er det på norsk? Slik jeg har oppfattet det, så er "span" av to ikke-parallelle vektorer lik [tex]\mathbb{R}^2[/tex] fordi enhver annen vektor i [tex]\mathbb{R}^2[/tex] kan tolkes som en lineær kombinasjon av de to foregående.

Er det da slik å forstå at retningsvektorene [tex]\hat \imath[/tex] og [tex]\hat \jmath[/tex] danner grunnlaget for de standard 2D-grafene vi tegner mye på i løpet av VGS?

Jeg tror det norke uttrykket er "spenn".

Her kan det bli litt abstrakt. Spennet av to ikke-parallelle vektorer er lik [tex]\mathbb{R}^2[/tex] "opptil isomorfi". [tex]\mathbb{R}^2[/tex] er definert som vektorrommet av ordnede par (a,b) av reelle tall. Spennet av to vektorer kan derimot være alle lineære kombinasjoner av for eksempel (1,4,2,6) og (3,8,2,13). Likevel kan vi lage en bijektiv lineær funksjon [tex]T[/tex] som for eksempel sender (1,4,2,6) til (1,0) og (3,8,2,13) til (0,1), og som oppfyller [tex]T(a\vec{u}+b\vec{v})=aT(\vec{u})+bT(\vec{b})[/tex]. Da kan vi se at spennet av to vektorer har nøyaktig samme struktur som [tex]\mathbb{R}^2[/tex], men kan være representert annerledes. Dette er det som menes med "likhet opptil isomorfi". Dette er derimot litt teknisk og er antakelig ikke verdt å tenke på før du begynner å studere vektorrom.

Aleks855 wrote:Lineær (u)avhengighet står jeg fast på. Et skudd i blinde: Gitt to vektorer [tex]\vec v_1, \vec v_2[/tex], der "span"et mellom dem danner et plan. En tredje vektor [tex]\vec v_3[/tex] vil være lineært avhengig av disse to hvis den kan fremstilles som en lineær kombinasjon av [tex]\vec v_1, \vec v_2[/tex]. Den er derimot uavhengig dersom den bryter ut av planet, og legger til en ny dimensjon i "tegninga".

Det stemmer. Den generelle definisjonen er følgende: En mengde vektorer [tex]\{\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}\}[/tex] kalles lineært avhengig dersom det finnes en mendge tall [tex]\{c_1,c_2,...,c_n\}[/tex] som ikke alle er lik 0, slik at [tex]c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+...+c_n\vec{v_n}=\vec{0}[/tex]. En lineært uavhengig mengde er dermed en slik at man ikke kan finne slike koeffesienter.

Aleks855 wrote:Og mens vi er på sporet. Vil da [tex]span(\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3) = \mathbb R^3[/tex]? Eller MÅ den tredje vektoren være ortogonal med planet som dannes av de to foregående?

Så lengde de tre vektorene danner en lineært uavhengig mengde, vil spennet deres være likt [tex]\mathbb{R}^3[/tex] opptil isomorfi. Den tredje trenger altså ikke være ortogonal til planet spent av de to første.

Begynt med lineær algebra 2 du og ? =)

Kolineære vektorer

en måte er vel å si at disse vektorene er parallelle ja. Men kanskje enn mer
formell måte å si det på er at to vektorer er Kolineære vektorer dersom den ene kan uttrykkes som en skalar av den andre.

En kan også si at disse vektorene må være lineært avhengig av hverandre


Span

På norsk bruker vel kanskje ordet spenn? Vi har hittil bare brukt span...
Her er jeg litt på gyngende grunn, hvordan jeg skal forklare dette på en god måte.

Span brukes ikke bare om [tex]\mathbb{R^2}[/tex] eller \mathbb{R^n} men om alle vektorrom.

!!!
Dersom vi begrenser oss til [tex]\mathbb{R}^3[/tex] kan vi si at tre vektorer spenner ut \mathbb{R}^3 dersom alle punkter i [tex]\mathbb{R}^3[/tex] kan bli beskrevet som en lineærkombinasjon av disse tre vektorene.
!!!

Vi kunne også hatt flere vektorer, men tre vektorer er det minste antallet vektrorer vi trenger for å spenne ut [tex]\mathbb{R}^3[/tex]

Eksempelvis så spenner enhetsvektorene ut [tex]\mathbb{R}^3[/tex] altså.
[tex](0,0,1) , (0,1,0) , (1,0,0)[/tex] siden alle punkter i [tex]\mathbb{R}^3 [/tex]kan uttrykkes på formen

[tex](x,y,z) = i(0,0,1) + j(0,1,0) + k(1,0,0)[/tex]

Altså en lineærkombinasjon av disse tre vektorene. Nå skal det sevfølgelig også sies at tre vektorer ikke nødvendigvis spenner ut hele \mathbb{R}^3. For eksempel

[tex](1,1,1) , (2,2,2) , (3,3,3)[/tex]

Mer generelt kan vi si at dersom vi har n vektorer i [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Så vil vektorene spenne ut R^n bare dersom. Likningsystemet, uttrykt med matrisen under er løsbar.

[tex] \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} [/tex]

Hvor b`ene bare er generelle punkter i [tex]\mathbb{R}^n[/tex]

En annen måte å si det er at determinanten av matrisen må være ulik null.

[tex] \, \begin{vmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{vmatrix}[/tex]

Ok, jeg må fordøye dette i små doser tror jeg.

Hva vil isomorfi si i denne sammenhengen? Jeg synes ordbøker er litt tafatt på slike betydninger. De har sjelden eksempler, men bare tørre definisjoner og bevis.

Takk så langt! Greit å få ting bekreftet før jeg tar det i bruk

Og det er vel ikke Lineær Algebra 2 så vidt jeg vet. Det er en ganske arbitrær kombinasjon av underemner som skal gagne ingeniørutdanninga. Det inngår også en del OpenGL i faget.

La oss bare få unna den tørre definisjonen først:
I konteksten av vektorrom har vi lineære avbildninger. Disse er lineære funksjoner fra ett vektorrom til et annet. En isomorfi mellom vektorrom er en lineær avbildning som er både injektiv og surjektiv, altså bijektiv. Hvis det finnes en isomorfi mellom to vektorrom kaller vi dem isomorfe.

To vektorrom som er isomorfe er essensielt samme vektorrom, bare at de kan være representert på forskjellige måter. Et teorem i lineær algebra sier at to vektorrom er isomorfe hvis og bare hvis de har samme dimensjon. Altså er alle todimensionale vektorrom isomorfe til R[sup]2[/sup] osv.

Her er noen eksempler på isomorfe vektorrom (Prøv å vise det ved å finne en isomorfi i hvert tilfelle):
- R[sup]3[/sup] og mengden med alle polynomer av grad høyst 2.
- x-aksen , y-aksen og z-aksen i R[sup]3[/sup]
- Mengden av 2x3-matriser og mengden av lineære avbildninger fra R[sup]3[/sup] til R[sup]2[/sup].

Husk at lineær betyr at
[tex]T(au+bv)=aT(u)+bT(v)[/tex]
for alle [tex]u[/tex] og [tex]v[/tex] i definisjonsmengden og alle koeffesienter [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex].