matematikk.net

La [tex](X,d_X)[/tex] og [tex](Y,d_Y)[/tex] være metriske rom, og [tex]f: (X,d_X)\rightarrow (Y,d_Y)[/tex].

Jeg skal bevise ekvivalensen mellom epsilon-delta definisjonen for kontinuitet og den generelle definisjonen for en metriserbar topologi. Jeg gjengir disse nedenfor. Denne posten ble litt lang, beklager det. Dersom du ikke gidder lese alt, står spørsmålet på bunnen.

La [tex]B^X_\epsilon (x) = \{u|u\in X \,\wedge\,d_X(x,u)<\epsilon\}[/tex] og tilsvarende for [tex](Y,d_Y)[/tex]

Epsilon-delta: [tex](\forall \epsilon >0)(\exist \delta >0)(\forall x,u\in X) \,d_X(x,u)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(u))<\epsilon[/tex]

Som tilsvarer at [tex](\forall \epsilon >0)(\exist \delta >0)(\forall x,u\in X)\,u\in B^X_\delta (x) \Rightarrow f(u) \in B^Y_\epsilon (f(x))[/tex]

Og til slutt: [tex](\forall \epsilon >0)(\exist \delta >0)(\forall x,u\in X)\,f\left(B^X_\delta (x)\right)\subseteq B^Y_\epsilon (f(x))[/tex]

Den generelle definisjonen er gitt ved
[tex]V\in \mathcal{T}_Y \Rightarrow f^{-1} (V) \in \mathcal{T}_X[/tex]
med metriske topologier.

Ok, som en start, ettersom de åpne ballene i X og Y danner en basis for de respektive topologiene, kan åpne sett uttrykkes som en union av disse.

[tex]V=\bigcup_{i\in I} B^Y_{\epsilon_i} (y_i)[/tex] og tilsvarende for X.

Dermed får vi fra den generelle definisjonen at for [tex]\epsilon_i>0, y_i\in Y, i\in I[/tex] finnes [tex]\delta_j>0,x_j\in X, j\in J[/tex] slik at

[tex]f^{-1} (V)=\bigcup_{i\in I} f^{-1}\left( B^Y_{\epsilon_i}(y_i)\right) =\bigcup_{j\in J} B^X_{\delta_j} (x_j)[/tex]

Anvend [tex]f[/tex] på begge sider og vi får

[tex]\bigcup_{j\in J} f\left(B^X_{\delta_j} (x_j)\right) = \bigcup_{i\in I} B^Y_{\epsilon_i} (y_i)[/tex]

La nå [tex]I=\{1\}[/tex] og [tex]y=f(x)[/tex], og vi oppnår

[tex]\bigcup_{j\in J} f\left(B^X_{\delta_j} (x_j)\right) =B^Y_{\epsilon} (f(x))[/tex]

som impliserer [tex]f\left( B^X_{\delta_j} (x_j)\right) \subseteq B^Y_\epsilon (f(x))[/tex]

Altså impliserer den generelle definisjonen den "metriske definisjonen".

Fra den metriske definisjonen anvender vi [tex]f^{-1}[/tex] på hver side, og får

[tex]B^X_\delta (x) \subseteq f^{-1}\left(B^Y_\epsilon (f(x))\right)[/tex]

Her står jeg fast. Jeg har tenkt en stund, men kommer ikke på hvodan jeg skal bevise at den generelle definisjonen følger av den metriske, ettersom ett av trinnene den andre veien; å kvitte seg med unionsoperatoren, virker som et irreversibelt trekk. Om noen kunne gi meg en pekepinn, hadde det hjulpet.

La V være åpen i Y. Da kan vi skrive [tex]V=\cup_i B_i(y_i,r_i)[/tex] der [tex]B_i(y_i,r_i)[/tex] er åpne baller i [tex]Y[/tex].

Vi må vise at [tex]f^{-1}(V)=\cup_i f^{-1}(B_i)[/tex] er åpen i X.

Det er nok å vise at [tex]f^{-1}(B_i)[/tex] er åpen (siden unionen av åpne mengder er åpen), altså at dersom [tex]x\in f^{-1}(B_i)[/tex] fins det en r>0 slik at [tex]B(x,r)\subset f^{-1}(B_i)[/tex]. (definisjonen av åpne mengder i metriske rom).

For å vise dette kan du nok ta utgangspunkt i [tex]\epsilon-\delta[/tex]-definisjonen av kontinuitet.

Edit: eller var det den andre veien du sto fast?

Takk for hjelpen! Jeg har forsøkt å stelle i stand et nytt bevis under. Finnes det noen feil eller svake punkter jeg bør rette på?

Definisjonene:
epsilon-delta:
[tex](\forall \epsilon > 0 )(\exists \delta > 0)(\forall x \in X) B(x,\delta)\subseteq f^{-1}\left( B(f(x),\epsilon)\right)[/tex] (M)

generell kontinuitet:
[tex]V\in\mathcal{T}_Y \Rightarrow f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X[/tex] (G)

Åpen mengde:
[tex]U\in \mathcal{T} \Leftrightarrow (\forall x\in U)(\exist \delta > 0) B(x,\delta)\subseteq U[/tex]

Først: [tex](G)\,\Rightarrow\,(M)[/tex]

La [tex]V\in \mathcal{T}_Y[/tex] og anta at [tex]\mathcal{T}_Y[/tex] og [tex]\mathcal{T}_X[/tex] er metriserbare.

Altså er [tex]V=\bigcup_i B_i(y_i,\epsilon_i[/tex] (B[sub]i[/sub] åpne baller i Y)

Må vise at [tex]f^{-1}(V)[/tex] er åpen i [tex]X[/tex]. Åpne baller danner basiser for begge topologiene, og det holder å vise at [tex]f^{-1}(B_i)[/tex] er åpen ettersom unioner av åpne mengder er åpne.

Må derfor vsie at hvis [tex]x\in f^{-1}(B_i)[/tex], så finnes en [tex]r[/tex] slik at [tex]B(x,r)\subseteq f^{-1}(B_i)[/tex].

Fra (G) vet vi at [tex] f^{-1}(B_i)[/tex] er åpen, finnes en slik [tex]r[/tex] per definisjon av åpne mengder i metriske topologier. Ettersom vi også vet at [tex]f(x)\in B_i[/tex], gjelder det overstående spesiellt for [tex]B_i=B(f(x),\epsilon)[/tex] for enhver [tex]\epsilon>0[/tex], og vi er ferdige.


Deretter, [tex](M)\,\Rightarrow\, (G)[/tex]

La [tex]V\in \mathcal{T}_Y[/tex]. Fra definisjonen av åpne mengder har vi da at

[tex](\forall y\in V)(\exist \epsilon) B(y,\epsilon)\subseteq V[/tex]

Og fra (M) får vi da at

[tex](\forall y\in V)(\exist B(x,\delta)\in\mathcal{T}_X) B(x,\delta)\subseteq f^{-1}\left(B(y,\epsilon)\right) \subseteq f^{-1}(V)[/tex]

slik at [tex]f(x)=y[/tex]

Dette er definisjonen på en åpen mengde i X, så vi får at [tex]f^{-1}(V)[/tex] er åpen, og vi er ferdige.

Dermed har vi vist [tex](G)\,\Leftrightarrow\,(M)[/tex].

Tror dette ser bra ut.