Lemma 1:
Anta at [tex] F^{\prime}(x) = f(x) [/tex]
da vil også
[tex]\left( F(x) + C\right)^{}\prime = f(x) [/tex]
der [tex]C[/tex]
er en vilkårlig konstant.
Det vi sier her er at om for for eksempel [tex]F(x) = 5x[/tex] , da er [tex]F^{\prime}(x) = f(x) = 5[/tex] men også [tex]F(x) = 5x +3[/tex] , så er [tex]F^{\prime}(x) = f(x) = 5[/tex]
En følge av dette er at dersom [tex]F^{\prime}(x)=f(x)[/tex] så er [tex]\int f(x) \, \text{d}x = F(x) + C [/tex]
Der den litt pussige S tegnet ikke har noe som helst med areal å gjøre! (foreløpig) men betegner kun den antideriverte.
----------------------------------------------
Nå begynner vi å titte på figuren vår. La oss anta at det finnes en funksjon [tex]A(x)[/tex]
som beskriver arealet under funksjonen [tex]f(x)[/tex] fra [tex]a[/tex] til [tex]x[/tex]. Eksempelvis så vil [tex]A(b)[/tex] representere det
røde arealet eller området på figuren.
Nå utvider vi området litt, og beveger oss en liten avstand fra b mot høyre som vi kaller for h.
Arealet av dette blå området blir dermed
[tex]\blue \text{bl{\aa}}[/tex][tex] = A(b+h) - A(b) [/tex]
Men utifra figuren, så ser vi at dette området her, ligger mellom de to rektanglene.
Arealet av det minste rektanglet blir [tex]h \cdot f(b)[/tex] og arealet av det største rektanglet blir [tex]h \cdot f(b+h)[/tex]
Nå vet vi ikke hvor dette blå arealet befinner seg, men det er ett eller annet sted mellom disse to rektanglene. Dette kan vi skrive som en fin dobbel ulikhet.
[tex]h \cdot f(b) \ \leq \ A(x+h) - A(h) \ \leq \ h \cdot f(b+h)[/tex]
Må vet vi at [tex]h>0[/tex], og vi kan fint dele på h gjennom hele ulikheten.
[tex] f(b) \ \leq \ \frac{A(x+h) - A(h)}{h} \ \leq \ f(b+h)[/tex]
Nå lar vi h nærme seg null (Vi kan ikke la den bli null, men vi kan la den bli veldig veldig nærme). Dette kan bli sett på som å se på grenseverdien
[tex]\lim_{h \to 0}[/tex]
Ved innsetning får vi
[tex]\lim_{h \to 0} f(b) \ \leq \ \lim_{h \to 0} \frac{A(b+h) - A(h)}{h} \ \leq \ \lim_{h \to 0} f(b+h)[/tex]
[tex] f(b) \ \leq \ \lim_{h \to 0} \frac{A(b+h) - A(h)}{h} \ \leq \ f(b)[/tex]
Nå utifra definisjonen av den deriverte vet vi at
[tex]A^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{A(b+h) - A(h)}{h}[/tex]
Og bare for å gjøre det klinkende klart, det vi nå har vist er at
[tex] f(b) \ \leq \ A^{\prime}(b) \ \leq \ f(b)[/tex] Som betyr at [tex]A^{\prime}(b) = f(b) [/tex]
Som betyr at [tex]A(x)[/tex] er en antiderivert av [tex]f(x)[/tex] !!! <-- KJEMPEVIKTIG
Siden [tex]A^{\prime}(x)=f(x)[/tex] så er [tex]A(x) = F(x)[/tex] der [tex]F^{\prime}(x) = f(x)[/tex]
Det vi nå har funnet ut. Er at arealet under [tex]f(x)[/tex] fra [tex]a[/tex] til [tex]b[/tex] kan bli skrevet som
[tex]A(b) = F(b) + C[/tex]
Der C er en eller annen konstant, denne kommer ifra lemmaet. Nå trenger vi bare å besteme denne konstanten. Dette kan vi gjøre ved å velge [tex]b=a[/tex].
Husk at [tex]A(x)[/tex] er arealet under [tex]f(x)[/tex] fra [tex]a[/tex] til [tex]x[/tex]. Setter vi [tex]x=a[/tex], må nødvendigvis dette området være null. Da får vi
[tex]A(a) = F(a) + C[/tex]
[tex]0 = F(a) + C \Rightarrow C = - F(a)[/tex]
Slik at vi får at arealet under[tex] f(x)[/tex] er gitt som
[tex]A(b) = F(b) - F(a)[/tex]
En mer normal måte å skrive dette på er
[tex]\in_{a}^{b} f(x) \, \text{d}x = F(b) - F(a)[/tex]
Altså, arealet under [tex]f(x)[/tex] fra [tex]a[/tex] til [tex]b[/tex], er det samme som den antideriverte av F evaluert i [tex]b[/tex] minus [tex]F[/tex] evaluert i [tex]a[/tex].
)
