matematikk.net

Mens jeg leste en post her kom jeg til å tenke på logaritmer, og hvordan de egentlig fungerer. Er det noen som har en god link eller forklaring til meg?

Jeg har ikke problemer med definisjonen / den vanlige forklaringen, eller å regne med logaritmer, men jeg forstår ikke hva som egentlig skjer.

Jeg vil tro at veldig mange andre har det på akkurat samme måten.

Nå er jeg ikke sikker på nøyaktig hva du siktert til, men kanskje det hjelper med Lindstrøms forklaring av hvordan de briggske logartimene ble regnet ut første gang.

http://www.youtube.com/watch?v=F7fY6wZJguI

Jeg fant en intravenøs forklaring og jeg ser nå hvorfor vi kan løse eksponentlikninger når grunntallet f.eks. er 10 og vi har en liste med logaritmer til dette grunntallet.

[tex]$${10^x} = 100$$[/tex]

[tex]$$x = {\log _{10}}100$$[/tex]



Men når grunntallet ikke er 10 og vi ikke har listen så må vi bruke logaritmene vi har for grunntallet 10 og på magisk vis finne logaritmen med f.eks. grunntallet 5 for tallet 100:

[tex]$${5^x} = 100$$[/tex]

[tex]$$x = {\log _5}100 = \frac{{{{\log }_{10}}100}}{{{{\log }_{10}}5}}$$[/tex]

Hvorfor fungerer denne magien?

[tex]a^x=b[/tex]
Av definisjonen av logaritmen følger det at[tex]x=\log_a(b)[/tex].

[tex]a^x=b[/tex]
[tex]\log_c(a^x)=\log_c(b)[/tex]
[tex]x\log_c(a)=\log_c(b)[/tex]
[tex]x=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}[/tex]

Altså er [tex]\log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}[/tex]

Du kan jo prøve å vise det selv! Spesielt vanskelig er det ikke.

Du skal vise at

[tex]\log_a(b) == \frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}[/tex]

Gjelder for alle naturlige tall
Du kan for eksempel opphøye begge sider i a, og leke deg litt med potensregler. Husk at

[tex]a^{\log_a(g(x))} = g(x)[/tex] Som kommer rett fra definisjonen, og at

[tex]p^{m/n} = \left( p^{m} \right)^{1/n} = \left( p^{1/n} \right)^m [/tex]

Jej i did it! Takk skal du ha