Diff.likning igjen
Posted: 25/01-2012 22:45
Gitt følgede oppgave:
Find the potential function [tex]V(x)[/tex] for the conservative system [tex]x^{\prime \prime} - x + x^2 = 0[/tex]. Sketch [tex]V(x)[/tex] against [tex]x[/tex], and the main features of the phase diagram.
OK. Her har vi altså at [tex]x^{\prime \prime} = f(x) = x - x^2[/tex]
Vi har videre at:
[tex]V(x) = - \int f(x)dx[/tex]
Altså:
[tex]V(x) = - \int (x - x^2)dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C[/tex]
Her kan vi velge en arbitrær verdi for [tex]C[/tex], så vi velger [tex]C = 0[/tex] for enkelthetens skyld.
Grafen til [tex]V(x)[/tex] tegnes ganske enkelt i f.eks. Woframalpha.
Funksjonen [tex]V(x)[/tex] har et toppunkt i [tex](0,0)[/tex] og et bunnpunkt i [tex](1, -\frac{1}{6})[/tex]. Altså er dette ekvilibriumspunkter i systemet, og siden vi her har et conservative system, så vil toppunkt indikere at [tex](0,0)[/tex] er et saddelpunkt i faseplanet. Videre, siden [tex](1, - \frac{1}{6})[/tex] er et bunnpunkt, så må dette være et senter i faseplanet.
Så, selv om jeg ikke her tegner systemet, så har jeg en god ide om hvordan det ser ut. Er resonneringen min riktig her? Grunnen til at jeg spør er at fasiten kun skriver uttrykket for [tex]V(x)[/tex] her, og her har de faktisk skrevet [tex]V(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}[/tex]. Jeg mistenker sterkt at dette er fasitfeil.
Synspunkter/kommentarer er hjertelig velkommen.
Find the potential function [tex]V(x)[/tex] for the conservative system [tex]x^{\prime \prime} - x + x^2 = 0[/tex]. Sketch [tex]V(x)[/tex] against [tex]x[/tex], and the main features of the phase diagram.
OK. Her har vi altså at [tex]x^{\prime \prime} = f(x) = x - x^2[/tex]
Vi har videre at:
[tex]V(x) = - \int f(x)dx[/tex]
Altså:
[tex]V(x) = - \int (x - x^2)dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C[/tex]
Her kan vi velge en arbitrær verdi for [tex]C[/tex], så vi velger [tex]C = 0[/tex] for enkelthetens skyld.
Grafen til [tex]V(x)[/tex] tegnes ganske enkelt i f.eks. Woframalpha.
Funksjonen [tex]V(x)[/tex] har et toppunkt i [tex](0,0)[/tex] og et bunnpunkt i [tex](1, -\frac{1}{6})[/tex]. Altså er dette ekvilibriumspunkter i systemet, og siden vi her har et conservative system, så vil toppunkt indikere at [tex](0,0)[/tex] er et saddelpunkt i faseplanet. Videre, siden [tex](1, - \frac{1}{6})[/tex] er et bunnpunkt, så må dette være et senter i faseplanet.
Så, selv om jeg ikke her tegner systemet, så har jeg en god ide om hvordan det ser ut. Er resonneringen min riktig her? Grunnen til at jeg spør er at fasiten kun skriver uttrykket for [tex]V(x)[/tex] her, og her har de faktisk skrevet [tex]V(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}[/tex]. Jeg mistenker sterkt at dette er fasitfeil.
Synspunkter/kommentarer er hjertelig velkommen.
