Potensiell energi og faseplan
Posted: 28/01-2012 18:53
Hei.
Er litt usikker på følgende oppgave ettersom jeg etter min resonnering skal få et annet svar enn fasit:
The potential energy [tex]V(x)[/tex] of a conservative system is continuous, and is strictly increasing for [tex]x < -1[/tex], zero for [tex]|x| \leq 1[/tex], and strictly decreasing for [tex]x > 1[/tex]. Locate the equilibrium points and sketch the phase diagram for the system.
OK. Jeg tegner en skisse av grafen til [tex]V(x)[/tex]. Vi vet at [tex]V(x)[/tex] er kontinuerlig og tar verdien [tex]0[/tex] i intervallet [tex]|x| \leq |[/tex], samt at den er økende for [tex]x < -1[/tex] og minkende for [tex]x > 1[/tex]. Da må intervallet [tex]|x| \leq 1[/tex] utgjøre et sammenhengende toppunkt for grafen. Altså er alle punktene i dette intervallet ekvilbriumspunkter. Videre har jeg tenkt at ettersom dette er et toppunkt, så må faseplanet i intervallet ha rette linjer av typen [tex]y = C[/tex], mens endepunktene på intervallet fungerer som hver sin ende av et saddelpunkt.
Fasiten skriver også at ekvilibriumspunktene er intervallet [tex]|x| \leq 1[/tex], men den skriver også:
The paths in the interval [tex]|x| \leq 1[/tex] are the straight lines [tex]y = C[/tex]. Since [tex]V(x)[/tex] is strictly increasing for [tex]x < -1[/tex], the paths must resemble the left-hand half of a centre at [tex]x = -1[/tex]. In the same wah the paths for [tex]x > 1[/tex] must be the right hand half of a centre.
Dette forvirrer meg. Det står jo klart og tydelig i tekstboken at når [tex]V(x)[/tex] har et toppunkt, så skal dette utgjøre et saddelpunkt i faseplanet, og når [tex]V(x)[/tex] har et bunnpunkt, så blir dette et senter i faseplanet. Så hvordan kan man da resonnere at endepunktene på intervallet her tar senterform? Burde ikke da [tex]V(x)[/tex] minket for [tex]x < -1[/tex] og økt for [tex]x > 1[/tex]?
Setter veldig stor pris på om noen kan oppklare dette for meg.
Er litt usikker på følgende oppgave ettersom jeg etter min resonnering skal få et annet svar enn fasit:
The potential energy [tex]V(x)[/tex] of a conservative system is continuous, and is strictly increasing for [tex]x < -1[/tex], zero for [tex]|x| \leq 1[/tex], and strictly decreasing for [tex]x > 1[/tex]. Locate the equilibrium points and sketch the phase diagram for the system.
OK. Jeg tegner en skisse av grafen til [tex]V(x)[/tex]. Vi vet at [tex]V(x)[/tex] er kontinuerlig og tar verdien [tex]0[/tex] i intervallet [tex]|x| \leq |[/tex], samt at den er økende for [tex]x < -1[/tex] og minkende for [tex]x > 1[/tex]. Da må intervallet [tex]|x| \leq 1[/tex] utgjøre et sammenhengende toppunkt for grafen. Altså er alle punktene i dette intervallet ekvilbriumspunkter. Videre har jeg tenkt at ettersom dette er et toppunkt, så må faseplanet i intervallet ha rette linjer av typen [tex]y = C[/tex], mens endepunktene på intervallet fungerer som hver sin ende av et saddelpunkt.
Fasiten skriver også at ekvilibriumspunktene er intervallet [tex]|x| \leq 1[/tex], men den skriver også:
The paths in the interval [tex]|x| \leq 1[/tex] are the straight lines [tex]y = C[/tex]. Since [tex]V(x)[/tex] is strictly increasing for [tex]x < -1[/tex], the paths must resemble the left-hand half of a centre at [tex]x = -1[/tex]. In the same wah the paths for [tex]x > 1[/tex] must be the right hand half of a centre.
Dette forvirrer meg. Det står jo klart og tydelig i tekstboken at når [tex]V(x)[/tex] har et toppunkt, så skal dette utgjøre et saddelpunkt i faseplanet, og når [tex]V(x)[/tex] har et bunnpunkt, så blir dette et senter i faseplanet. Så hvordan kan man da resonnere at endepunktene på intervallet her tar senterform? Burde ikke da [tex]V(x)[/tex] minket for [tex]x < -1[/tex] og økt for [tex]x > 1[/tex]?
Setter veldig stor pris på om noen kan oppklare dette for meg.
