matematikk.net

Hei.

Jeg er litt usikker på noen formuleringer i tekstboken min angående existence and uniqueness i faseplanet. I boken står det:
Consider the general autonomous first-order system

[tex]x^\prime = X(x,y)[/tex]

[tex]y^\prime = Y(x,y)[/tex] (2.1)

The appropriate form for the initial conditions of this is

[tex]x = x_0[/tex], [tex]y = y_0[/tex] at [tex]t = t_0[/tex] (2.2)

where [tex]x_0[/tex] and [tex]y_0[/tex] are the initial values at time [tex]t_0[/tex]; by the existence and uniqueness theorem (Appendix A) there is one and only one solution satisfying this condition when [tex](x_0, y_0)[/tex] is an "ordinary point". This does not at once mean that there is one and only one phase path through the point [tex](x_0, y_0)[/tex] on the phase diagram, because the same point could serve as the initial conditions for other starting times. Therefore it might seem that other phase paths through the same point could result: the phase diagram would be a tangle of criss-crossed curves. We may see that this is not so by forming the differential equation for the phase paths. Since [tex]\frac{y^\prime}{x^\prime} = \frac{dy}{dx}[/tex] on a path the required equation is

[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{Y(x,y)}{X(x,y)}[/tex] (2.3)


Litt senere står det som følger:

Points where the right hand side of (2.3) satisfy the conditions for regularity (Appendix A) are called the oridinary points of (2.3). There is one and only one phase path through any ordinary point [tex](x_0, y_0)[/tex], no matter what time [tex]t_0[/tex] the point [tex](x_0, y_0)[/tex] is encountered. Therefore infinitely many solutions of (2.1), differing only by time displacements, produce the same phase path.


OK, så jeg henger ikke litt med her. Først virker det som at boken sier at (2.2) vil kun ha en bestemt løsning, men at flere phase paths kan passere gjennom samme punkt. Senere skrives det så at "there is one and only one phase path through any ordinary point". Dette forvirrer meg litt. Hvorfor skriver boken først at flere kurver kan passere gjennon punktet, for så å skrive at de ikke kan det?

Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette for meg!

Det boka mener er vel at det ikke følger automatisk fra eksistens og entydighetsteoremet for initialverdiproblemet at det kun er én phase path gjennom ethvert ordinary point, siden det er mulig at det, gitt en annen initialbetingelse, kan finnes en annen phase path gjennom det samme punktet i faseplanet.

Deretter refererer boka til et teorem (som såvidt jeg skjønner ikke bevises), som sier at det kun er én phase path gjennom ethvert ordinary point.

Ligning 2.3 sier vel bare at det ikke er mulig at det fins to phase paths som krysser i et ordinary point (slik at f.eks. tangentene er ulike i punktet), siden høyresida, entydig, gir oss stigningstallet til phase paths i slike punkter i faseplanet. (Det det likevel ikke står noe om er vel at det kunne tenkes at det hadde eksistert ulike phase path som kunne gått gjennom et felles punkt slik at tangentene til disse hadde samsvart i dette punktet.)

Jeg syns selv det var svært klønete forklart i boka..

Takk skal du ha, plutarco. Jeg forstår det bedre nå. At boken her egentlig snakker om to forskjellige teorem, og ikke bare eksistens- og unikhetsteoremet. Men, som du sier, så er dette klønete forklart. Må innrømme at boken er flink til å vise eksempler og vise hvordan man skal bruke ulike metoder til å løse oppgaver, men jeg ville absolutt satt pris på en mer rigorøs gjennomgang av teorien bak disse løsningsmetodene.

krje1980 wrote:Må innrømme at boken er flink til å vise eksempler og vise hvordan man skal bruke ulike metoder til å løse oppgaver, men jeg ville absolutt satt pris på en mer rigorøs gjennomgang av teorien bak disse løsningsmetodene.

Problemet er at en rigorøs tilnærming rik på beviser innenfor disse temaene ligger på et relativt mye høyere nivå enn hva emnet nok er ment å skulle ligge. Emnet er jo tross alt en introduksjon til ikkelineær dynamikk. Beviser av de bakenforliggende teoremene (som f.eks. Hartman-Grobmann teoremet, som man kommer til senere i kurset) krever blant annet en relativt dyp innsikt i blant annet analyse, topologi, mangfoldigheter etc.

Den beste måten å lese Jordan&Smith på er nok å bare godta en del av de påstandene/teoremene som hevdes, og heller studere eksempler og teknikker for å få en innsikt og oversikt over temaet.

Du har rett, plutarco. Det er bare uvant å omstille seg til dette etter å ha tatt reell analyse