matematikk.net

noen som er flinke i dette? Trenger løsningsforslag

Avgjør om reken er absolutt konvergent, betinget konvergent eller divergent.

a) [sigma][/sigma] (-1)[sup]n[/sup]([rot][/rot](n+1)-[rot][/rot]n)
når n=0 går mot uendelig

b) [sigma][/sigma] (-10)[sup]n[/sup]/n! når n=0 går mot uendelig

c) [sigma][/sigma] (-1)[sup]n+1[/sup]/n[rot][/rot]2 når n=1 går mot uendelig

Et kjent teorem i analysen som på engelsk kalles "Alternating series test" uttrykker at en alternerende serie av formen [sigma][/sigma] (-1)[sup]n[/sup]a[sub]n[/sub] der n summeres fra 0 til uendelig, konvergerer dersom a[sub]n[/sub]>=a[sub]n+1[/sub]>0 for alle n>=0 og lim [sub]n går mot uendelig[/sub] a[sub]n[/sub] = 0.

I oppgave a er a[sub]n[/sub]=kv.rot(n+1) - kv.rot(n) > 0. Ved å multiplisere a[sub]n[/sub] med (kv.rot(n+1) + kv.rot(n))/(kv.rot(n+1) + kv.rot(n)) (=1), får vi at a[sub]n[/sub]=1/(kv.rot(n+1) + kv.rot(n)) Altså blir 1/a[sub]n[/sub] = (kv.rot(n+1) + kv.rot(n)) < (kv.rot(n+2) + kv.rot(n+1)) = 1/a[sub]n+1[/sub], dvs. at 1/a[sub]n[/sub] < 1/a[sub]n+1[/sub]. Altså er a[sub]n[/sub] > a[sub]n+1[/sub]. Videre er lim [sub]n går mot uendelig[/sub] a[sub]n[/sub] =1/(lim [sub]n går mot uendelig[/sub] kv.rot(n+1) + kv.rot(n))= 1/uendelig = 0. Dermed følger det av teoremet ovenfor at denne serien er konvergent. Denne serien er absolutt divergent fordi [sigma][/sigma] |(-1)[sup]n[/sup] (kv.rot(n+1) - kv.rot(n))| = [sigma][/sigma] kv.rot(n+1) - kv.rot(n) = kv.rot(N+1) (teleskopisk rekke) når n blir summert fra n=0 til n=N. Serien er m.a.o. betinget konvergent.

I oppgave b er det enkles å referere til at for alle relle tall x er [sigma][/sigma] (-x)[sup]n[/sup]/n! = e[sup]-x[/sup], der n summeres fra 0 til uendelig. Ved å sette x=10 i denne identiteten, blir resultatet at [sigma][/sigma] (-10)[sup]n[/sup]/n! = e[sup]-10[/sup]. Denne serien er m.a.o. konvergent. Samme identitet gir oss at denne serien er absolutt konvergent og dermed ikke betinget konvergent fordi [sigma][/sigma] |(-10)[sup]n[/sup]/n!| = [sigma][/sigma] 10[sup]n[/sup]/n! = e[sup]10[/sup].

I oppgave c må vi modifisere "Alternating series test" til følgende ekvivalente utsagn: En alternerende serie av formen Σ (-1)[sup]n+1[/sup]a[sub]n[/sub] der n summeres fra 1 til uendelig, osv.
Her har vi at a[sub]n[/sub] = 1/n[rot][/rot]2 > 1/(n+1)[rot][/rot]2 = a[sub]n+1[/sub] > 0. Dessuten ser vi at lim [sub]n går mot uendelig [/sub] a[sub]n[/sub] = 0.
Dermed må konklusjonen bli at denne serien er både konvergent og absolutt konvergent og følgelig ikke betinget konverget.