matematikk.net

Hei.

Litt usikker på følgende oppgave ettersom det ikke er noen eksempler som forklarer hvordan man løser disse problemene:


Find and classify the equilibrium points of

[tex]x^\prime = \frac{1}{8}(x + y)^3 - y[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{1}{8}(x + y)^3 - x[/tex]

Verify that lines [tex]y = x[/tex], [tex]y = 2 - x[/tex], [tex]y = -2 - x[/tex] are phase paths.


OK. Det er siste del av oppgaven jeg er litt usikker på. Det er enkelt og greit få finne ekvilibriumspunktene, som er henholdsvis [tex](0,0)[/tex], [tex](1, 1)[/tex] og [tex](-1, -1)[/tex]. Gjennom lineær tilnærming finner vi videre at [tex](0,0)[/tex] er et saddle point, og de to andre punktene er unstable nodes. Orker ikke vise dette her .

Jeg vet imidlertid ikke helt hvordan jeg kan gå frem på del 2 av oppgaven. Dvs, jeg kan finne egenvektorene som springer ut av saddelpunktet. Disse er henholdsvis [tex]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}[/tex] og [tex]\begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}[/tex]. Med dette viser vel jeg at [tex]y=x[/tex] er en phase path. Men hvordan kan jeg vise at [tex]y = 2 - x[/tex] og [tex]y = -2 - x[/tex] er det? Og er det riktig slik jeg har vist at [tex]y = x[/tex] er en phase path?

Som vanlig setter jeg meget stor pris på hjelp.

krje1980 wrote:
[tex]x^\prime = \frac{1}{8}(x + y)^3 - y[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{1}{8}(x + y)^3 - x[/tex]

Verify that lines [tex]y = x[/tex], [tex]y = 2 - x[/tex], [tex]y = -2 - x[/tex] are phase paths.

Vi får diff.ligningen

[tex]\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{8}(x + y)^3 - x}{\frac{1}{8}(x + y)^3 - y}[/tex]

Sjekk ved innsetting om y=x, y=2-x, og y=-2-x er løsninger av denne

Å ja! Selvsagt! Duh. Sånn går det når man overkompliserer ting og ikke ser skogen for bare trær.

Hehe, du er nok ikke den eneste som har gått i den fellen før.

krje1980 wrote:Å ja! Selvsagt! Duh. Sånn går det når man overkompliserer ting og ikke ser skogen for bare trær.

Den "løsningsmetoden" høres kjent ut, ja. Enten så ser man ikke skogen for bare trær eller så ser man ikke trær for bare skog, begge deler er fullt mulig.

For en gangs skyld et innlegg om differensialligninger, phase paths o.l. som jeg kunne skjønne noe av, dog ikke før det var forklart

Ja, det er ikke første gang dette skjer, og vil nok ikke være siste heller . Fordelen er jo at man får a-ha opplevelser hvor man oppdager at ting egentlig ikke er så vanskelig som man først tror

krje1980 wrote:... Fordelen er jo at man får a-ha opplevelser hvor man oppdager at ting egentlig ikke er så vanskelig som man først tror

Det er sant

En liten digresjon i forhold til oversettelse engelsk/norsk av velbrukte begreper:

Equilibrium point = likevektspunkt

phase path = trajektorie, løsningskurve, bane (i praksis det samme som integralkurver)

phase plane = faserom

Skisse av trajektoriene i faserommet kalles et faseportrett (phase portrait)

Existence and uniqueness = Eksistens og entydighet

Bifurcation = bifurkasjon

Saddle point = sadelpunkt

Center = senter

Takk skal du ha, plutarco. Når pensum er på engelsk og jeg ikke går på forelesninger, så lærer jeg meg rett og slett ikke de norske begrepene.