matematikk.net

Holder på med et kurs innen surface tension og capillarity. Prøver å utlede Laplace pressure equation (Lpe), og har hengt med hele veien (noen sider). Imidlertid stopper der helt opp når denne 2. ordens ikke-lineære ODE skal integreres.:
[tex]\frac{1}{z\sqrt{1+\dot z^2}}\,-\,\frac{\ddot z}{(1+\dot z^2)^{1.5}}=\frac{\Delta p}{\gamma}\,\,\,(*)[/tex]

boka bruker

[tex]\dot z=\frac{dz}{dx}[/tex]

videre er
[tex]\text \Delta p: overpressure[/tex]
og
[tex]\text \gamma: surface tension[/tex]

jeg har randbetingelser også, men er der mulig å løse denne (*) på "vanlig" måte?
Dvs for z = z(x)

Er høyresida konstant, uavhengig av z og x?

plutarco wrote:Er høyresida konstant, uavhengig av z og x?

JA

Prøvd å sette [tex]\dot{z}=v[/tex]?

Vi får at [tex]\ddot{z}=\dot{v}=\frac{dv}{dz}\dot{z}=v\frac{dv}{dz}[/tex], og den andre ordens ligninga blir en 1.ordens ligning som du kanskje får til å løse for v(z).

Ja, første jeg prøvde, men kom ikke helt i mål!
For prøve i morra igjen, jobba 14 t nå...

Janhaa wrote: [tex]\frac{1}{z\sqrt{1+\dot z^2}}\,-\,\frac{\ddot z}{(1+\dot z^2)^{1.5}}=\frac{\Delta p}{\gamma}\,\,\,(*)[/tex]

[tex]\frac{1}{z\sqrt{1+\dot z^2}}\,-\,\frac{\ddot z}{(1+\dot z^2)^{1.5}}=C[/tex]

[tex]\dot{z}=v[/tex], så

[tex]\frac{dv}{dz}=\frac{(1+v^2)}{vz}-C\frac{1}{v}(1+v^2)^{1.5}[/tex]

Sett [tex]1+v^2=u[/tex]. Vi får at

[tex]\frac{du}{dz}=\frac{2u}{z}-2Cu^{1.5}[/tex]

Dette er faktisk en Bernoulli-ligning som løses gjennom den kjente substitusjonen [tex]w=u^{-0.5}[/tex]. Ligningen transformeres til

[tex]-2\frac{dw}{dz}=\frac{2w}{z}-2C[/tex].

Gang med integrerende faktor etc. og du skal kunne klare å finne w, deretter u, v og z via, muligens stygg, integrasjon.

plutarco wrote:

Janhaa wrote: [tex]\frac{1}{z\sqrt{1+\dot z^2}}\,-\,\frac{\ddot z}{(1+\dot z^2)^{1.5}}=\frac{\Delta p}{\gamma}\,\,\,(*)[/tex]

[tex]\frac{1}{z\sqrt{1+\dot z^2}}\,-\,\frac{\ddot z}{(1+\dot z^2)^{1.5}}=C[/tex]
[tex]\dot{z}=v[/tex], så
[tex]\frac{dv}{dz}=\frac{(1+v^2)}{vz}-C\frac{1}{v}(1+v^2)^{1.5}[/tex]
Sett [tex]1+v^2=u[/tex]. Vi får at
[tex]\frac{du}{dz}=\frac{2u}{z}-2Cu^{1.5}[/tex]
Dette er faktisk en Bernoulli-ligning som løses gjennom den kjente substitusjonen [tex]w=u^{-0.5}[/tex]. Ligningen transformeres til
[tex]-2\frac{dw}{dz}=\frac{2w}{z}-2C[/tex].
Gang med integrerende faktor etc. og du skal kunne klare å finne w, deretter u, v og z via, muligens stygg, integrasjon.

Takk for svar plutarco, var ett par med PhD i fysikk som også sleit med denne

Endte opp med ett kranglete integral! Mulig jeg har gjort noen feil.
=====================

Hvordan går man fram for å løse slike:

[tex]\frac{1}{z}\,-\ddot z=\,C[/tex]

der
[tex]\dot z=v[/tex]
og
[tex]\ddot z=v\frac{dv}{dz}[/tex]

[tex]v\frac{dv}{dz}=\frac{1}{z}-C[/tex] er jo separabel.

[tex]\int v\,dv=\int \frac{1}{z}-C\,dz[/tex]

plutarco wrote:[tex]v\frac{dv}{dz}=\frac{1}{z}-C[/tex] er jo separabel.
[tex]\int v\,dv=\int \frac{1}{z}-C\,dz[/tex]

takk, jeg visste forsåvidt det, men siden v = dz/dx, koker dette ned i integralet:

[tex]\int\,dx=\int \frac{dz}{\sqrt{2\left(\ln(z)-C_1z-C_2\right)}}[/tex]

og jeg klør meg forsatt i hodet...

Ser ut som det er vanskelig å finne en eksplisitt løsning, ja. Du kan alltids omskrive til et system og analysere det i faseplanet. Jeg har ihvertfall ingen andre gode forslag, sånn på sparket.

plutarco wrote:Ser ut som det er vanskelig å finne en eksplisitt løsning, ja. Du kan alltids omskrive til et system og analysere det i faseplanet. Jeg har ihvertfall ingen andre gode forslag, sånn på sparket.

Takk igjen!
Analysere i faseplanet, vet jeg ingenting om (kan google det!).

Er bare så irriterende når jeg har skjønt det meste av utredninga:
Så skriver boka så "lett" ang (*), dvs den 2. ordens ikke-lineære ODE:
denne er matematisk integrerbar.
Vel, boka er skrevet av en fransk nobelprisvinner i fysikk...

Forslag til faseplanløsning:

[tex]\frac{1}{z} - z^{\prime \prime}= C[/tex]

[tex]z^{\prime \prime} = \frac{1}{z} - C[/tex]

Vi kan da definere:

[tex]z^\prime = v[/tex]

[tex]v^\prime = \frac{1}{z} - C[/tex]

Av dette ser vi at likevektspunkt inntreffer når [tex]v= 0[/tex] og [tex]z = \frac{1}{C}[/tex].

Definerer:

[tex]F(z,v) = v[/tex]

[tex]G(z,v) = \frac{1}{z} + C[/tex]

Dette gir:

[tex]\frac{\partial F}{\partial z} = 0[/tex]

[tex]\frac{\partial F}{\partial v} = 1[/tex]

[tex]\frac{\partial G}{\partial z} = -\frac{1}{z^2}[/tex]

[tex]\frac{\partial G}{\partial v} = 0[/tex]

Definerer matrisen:

[tex]J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{1}{z^2} & 0 \end{bmatrix}[/tex]

Ved likevektspunktet får vi da:

[tex]J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -C^2 & 0 \end{bmatrix}[/tex]

Og egenverdiene er gitt ved:

[tex]\lambda^2 = -C^2[/tex]

Dette vil dermed gi et senterpunkt.

krje1980 wrote:Forslag til faseplanløsning:
[tex]\frac{1}{z} - z^{\prime \prime}= C[/tex]
[tex]z^{\prime \prime} = \frac{1}{z} - C[/tex]
Vi kan da definere:
[tex]z^\prime = v[/tex]
[tex]v^\prime = \frac{1}{z} - C[/tex]
Av dette ser vi at likevektspunkt inntreffer når [tex]v= 0[/tex] og [tex]z = \frac{1}{C}[/tex].
Definerer:
[tex]F(z,v) = v[/tex]
[tex]G(z,v) = \frac{1}{z} + C[/tex]
Dette gir:
[tex]\frac{\partial F}{\partial z} = 0[/tex]
[tex]\frac{\partial F}{\partial v} = 1[/tex]
[tex]\frac{\partial G}{\partial z} = -\frac{1}{z^2}[/tex]
[tex]\frac{\partial G}{\partial v} = 0[/tex]
Definerer matrisen:
[tex]J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{1}{z^2} & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Ved likevektspunktet får vi da:
[tex]J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -C^2 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Og egenverdiene er gitt ved:
[tex]\lambda^2 = -C^2[/tex]
Dette vil dermed gi et senterpunkt.

takk skal du ha Mr., virka interessant dette, skal prøve å se om jeg forstår etterhvert...

Et tips -

Dersom du jobber mye med andreordens differensialligninger, eller systemer med differensialligninger, så kan du få mye hjelp gjennom å bruke applikasjonen pplane som kan lastes ned på nettet. Du kan enten laste ned Matlab versjonen eller kjøre en Java versjon direkte over nettet. Da får du svært gode illustrasjoner av faseplanet (som viser sammenhengen mellom x og y hvor begge f.eks. parametriseres av en variabel t for tid).