Klassifisere likevekstpunkt (vanskelig oppgave)
Posted: 05/02-2012 21:58
Hei.
Tenkte jeg skulle bryne meg på en litt utfordende oppgave:
A space satellite is in free flight on the line joining, and between, a planet (mass [tex]m_1[/tex]) and its moon (mass [tex]m_2[/tex]), which are at a fixed distance [tex]a[/tex] apart. We have:
[tex]-\frac{\gamma m_1}{x^2} + \frac{\gamma m_2}{(a-x)^2} = x^{\prime \prime}[/tex]
where [tex]x[/tex] is the distance of the satellite from the planet and [tex]\gamma[/tex] is the gravitational constant. Show that the equilibrium point is unstable according to the linear approximation.
OK. Har begynt med å definere:
[tex]x^\prime = y[/tex]
[tex]y^\prime = -\frac{\gamma m_1}{x^2} + \frac{\gamma m_2}{(a-x)^2} = x^{\prime \prime}[/tex]
Her har jeg regnet ut at likevektspunktet er gitt når [tex]y = 0[/tex] og når
[tex]x = \frac{-m_1 a \pm \sqrt{m_1 m_2}}{2(m_2 - m_1)}[/tex]
(orker ikke vise hele utregningen her, men det er i hvertfall dette jeg får når jeg setter [tex]y^\prime = 0[/tex] og løser for [tex]x[/tex]).
Videre har jeg gjort som følger:
[tex]F(x,y) = y[/tex]
[tex]G(x,y) = -\frac{\gamma m_1}{x^2} + \frac{\gamma m_2}{(a-x)^2}[/tex]
Vi har:
[tex]\frac{\partial F}{\partial x} = 0[/tex]
[tex]\frac{\partial F}{\partial y} = 1[/tex]
[tex]\frac{\partial G}{\partial x} = \frac{2 \gamma m_2}{(a-x)^3} + \frac{2 \gamma m_1}{x^3}[/tex]
[tex]\frac{\partial G}{\partial y} = 0[/tex]
Definerer matrisen:
[tex]J = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ \frac{2 \gamma m_2}{(a-x)^3} + \frac{2 \gamma m_1}{x^3} & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Eigenverdiene til matrisen er dermed gitt ved:
[tex]{\lambda} = \pm \sqrt{\frac{2 \gamma m_2}{(a-x)^3} + \frac{2 \gamma m_1}{x^3}}[/tex]
Nå må jeg altså gjennom dette vise at likevektspunktet er ustablit. Altså at dette er et sadelpunkt, en ustabil node eller ustabil spiral. Men det blir et enormt regnestykke dersom jeg skal plugge in x-verdien jeg fant for likevektspunktet, så lurer på om det kan være en enklere måte å gjøre dette på. Setter stor pris på tips! Også fint om noen kan bekrefte/avkrefte at jeg har tenkt riktig.
All hjelp mottas med stor takk!
Tenkte jeg skulle bryne meg på en litt utfordende oppgave:
A space satellite is in free flight on the line joining, and between, a planet (mass [tex]m_1[/tex]) and its moon (mass [tex]m_2[/tex]), which are at a fixed distance [tex]a[/tex] apart. We have:
[tex]-\frac{\gamma m_1}{x^2} + \frac{\gamma m_2}{(a-x)^2} = x^{\prime \prime}[/tex]
where [tex]x[/tex] is the distance of the satellite from the planet and [tex]\gamma[/tex] is the gravitational constant. Show that the equilibrium point is unstable according to the linear approximation.
OK. Har begynt med å definere:
[tex]x^\prime = y[/tex]
[tex]y^\prime = -\frac{\gamma m_1}{x^2} + \frac{\gamma m_2}{(a-x)^2} = x^{\prime \prime}[/tex]
Her har jeg regnet ut at likevektspunktet er gitt når [tex]y = 0[/tex] og når
[tex]x = \frac{-m_1 a \pm \sqrt{m_1 m_2}}{2(m_2 - m_1)}[/tex]
(orker ikke vise hele utregningen her, men det er i hvertfall dette jeg får når jeg setter [tex]y^\prime = 0[/tex] og løser for [tex]x[/tex]).
Videre har jeg gjort som følger:
[tex]F(x,y) = y[/tex]
[tex]G(x,y) = -\frac{\gamma m_1}{x^2} + \frac{\gamma m_2}{(a-x)^2}[/tex]
Vi har:
[tex]\frac{\partial F}{\partial x} = 0[/tex]
[tex]\frac{\partial F}{\partial y} = 1[/tex]
[tex]\frac{\partial G}{\partial x} = \frac{2 \gamma m_2}{(a-x)^3} + \frac{2 \gamma m_1}{x^3}[/tex]
[tex]\frac{\partial G}{\partial y} = 0[/tex]
Definerer matrisen:
[tex]J = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ \frac{2 \gamma m_2}{(a-x)^3} + \frac{2 \gamma m_1}{x^3} & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Eigenverdiene til matrisen er dermed gitt ved:
[tex]{\lambda} = \pm \sqrt{\frac{2 \gamma m_2}{(a-x)^3} + \frac{2 \gamma m_1}{x^3}}[/tex]
Nå må jeg altså gjennom dette vise at likevektspunktet er ustablit. Altså at dette er et sadelpunkt, en ustabil node eller ustabil spiral. Men det blir et enormt regnestykke dersom jeg skal plugge in x-verdien jeg fant for likevektspunktet, så lurer på om det kan være en enklere måte å gjøre dette på. Setter stor pris på tips! Også fint om noen kan bekrefte/avkrefte at jeg har tenkt riktig.
All hjelp mottas med stor takk!
