matematikk.net

Hei.

Får ikke helt til siste del av denne oppgaven:


Find the equation of the phase paths of [tex]\dot{x} = 1 + x^2[/tex], [tex]\dot{y} = -2xy[/tex]. It is obvious from the phase diagram that [tex]y=0[/tex] is Pointcaré stable. Show that for the path [tex]y = 0[/tex], all paths which start in [tex](x+1)^2 + y^2 = \delta^2[/tex] subsequently remain in a circle of radius [tex]\delta [1 + (1 + \delta)^2][/tex] centered on [tex]y=0[/tex]

OK. Det er enkelt å finne trajektoriene. Ta:

[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy}{1 + x^2}[/tex]

Likningen er separabel, og vi får:

[tex]\frac{dy}{y} = \frac{-2x}{1 + x^2} dx[/tex]

Løser dette enkelt og greit og får:

[tex]y = \frac{C}{1 + x^2}[/tex]


OK, så kommer det vanskelige. Jeg har tenkt som så:

Vi starter her en trajektorie innenfor sirkelen sentrert i [tex]x = -1[/tex] gitt ved:

[tex](x+1)^2 + y^2 = \delta^2[/tex]. Den største verdien vi kan ta for [tex]y[/tex] her er [tex]y = \delta[/tex]. Dette vil også være punktet som ligger lengst fra [tex]y = 0[/tex].

Videre kan vi derivere uttrykket [tex]y = \frac{C}{1 + x^2}[/tex] og får da:

[tex]y^\prime = \frac{-2Cx}{(1 + x^2)^2}[/tex]

Vi ser her at ekstremalverdien finnes for [tex]x=0[/tex]. Altså vil det være her at trajektorien som startet i den opprinnelige sirkelen vil ligge lengst fra linjen [tex]y = 0[/tex]. Ettersom vi startet i punktet [tex](-1, \delta)[/tex] kan vi løse for [tex]C[/tex] og få:

[tex]\delta = \frac{C}{1 + (-1)^2}[/tex]

[tex]C = 2 \delta[/tex].

Ved punktet [tex]x = 0[/tex] får vi da:

[tex]y = \frac{2\delta}{1 + 0} = 2\delta[/tex]

Altså vil min konklusjon være at avstanden fra linjen [tex]y=0[/tex] når sin maksverdi når [tex]x=0[/tex] og her er [tex]y=2\delta[/tex]. Altså må dette være den største radien mulig.

Men dette stemmer jo ikke med det oppgaven ba oss finne. Så åpenbart gjør jeg noe helt feil her. Jeg vil være veldig takknemlig om noen hjelper meg! Har sittet og grublet på dette i en time nå!

Anybody? Denne oppgaven torturerer meg

EDIT: Det følgende er ikke riktig

Hei, jeg justerte litt på det jeg hadde skrevet (da jeg regnet litt på det gjorde jeg samme oppdagelse som deg). Det skal dog være riktig nå.

Banen på x-aksen må nemlig starte i midten av sirkelen, mens den andre banen starter et sted på sirkelen.

Vi får følgende optimeringsproblem:

maksimér [tex]\sqrt{z^2+(\delta^2-z^2)(1+(z-1)^2)^2}[/tex]

der [tex]z\in [-\delta,\delta][/tex]

Takk så mye for hjelpen! Jeg har nok misforstått oppgaven litt, ja.

Har nå sittet og kontet med oppgaven i 30 minutter, men har fortsatt problemer med å se hva konkret jeg skal gjøre. Klarer ikke å se lyset og kommer knapt i gang. Hvordan kan jeg egentlig finne ut nøyaktig på hvilket tidspunkt de to trajektoriene når sin maksimale avstand?

Hei igjen, plutarco. Setter virkelig stor pris på dette!

Hvordan kom du frem til uttrykket over? Regner med at du her bruker avstanden mellom de to punktene? Men hvis den ene begynner i [tex](-1,0)[/tex] og den andre begynner i [tex](-1+z, sqrt{\delta^2 - z^2})[/tex] får vi ikke da:

[tex]d = \sqrt{(-1 - (-1+z))^2 + (-\sqrt{\delta^2 - z^2})^2}[/tex]?

Regner vel med at når vi først får ditt uttrykk, så kan vi finne det maksimerte uttrykket gjennom å derivere, og sette den deriverte lik null.

EDIT: Bare tull det jeg hadde skrevet her.

OK. Takker igjen . Skal forsøke meg litt videre.

Hei,

Tror jeg må se litt mer på denne oppgaven. Jeg tror ikke det jeg skrev over i all hast er helt riktig likevel. Får finne fram jordan og smith igjen og se på definisjonen.

OK. Ja, jeg sliter fremdeles litt med denne. Har valgt å gå litt videre i boken. Kanskje det dukker opp litt mer senere som kan kaste lys over oppgaven.

Hm, når jeg nå leser det som står i boka om poincarestabilitet, tolker jeg det på samme måte som du gjorde i din opprinnelige post. Nemlig at alle baner som starter innenfor en [tex]\delta-radius[/tex] om x=-1, y=0, må befinne seg innenfor en stripe med radius [tex]2\delta [/tex] om x-aksen, ved alle senere tider. Snakker vi her om enda en feil i boka?

EDIT: Siden [tex]2\delta<\delta (1+(1+\delta)^2)[/tex], følger jo forsåvidt fasitsvaret av dette.

Ja, det kan jo være så enkelt! Man skal bare vise at maksiumradien er mindre enn uttrykket gitt i oppgaven. Men det er likevel en dårlig oppgaveformulering. Skulle jo tro at det her er meningen å finne nettopp det uttrykket vi får oppgitt.

Kom plutselig på at vi hadde oversett en viktig ting i denne oppgaven som gjør at fasitsvaret gir mer mening.

Løsningsforslag:

Se på banene som starter i øvre halvplan. (situasjonen er symmetrisk for nedre halvplan). For x<0 er [tex]y^,(x)>0[/tex]. Det kan utfra dette tenkes at det fins startpunkter innenfor sirkelen i x=-1 som bestemmer en bane som ligger over punktet [tex](-1,\delta)[/tex]! Det beste vi kan si er at alle baner som starter innenfor sirkelen nødvendigvis vil være begrenset av banen som starter i [tex](-1-\delta, \delta)[/tex] (pga at ingen baner krysser). Dette gir dermed fasitsvaret.

Hei. Bra tenkt! Dette er nok slik det er meningen vi skal løse oppgaven! Men tør likevel påstå at min løsning i dert minste burde vært delvis godkjent på en eksamen!