matematikk.net

Sliter med en oppgave her (Oppgave 37, s.688, Calculus, Adams, 7th Edition):

[tex]f(x,y) = (x^3+y)sin(\frac{1}{x^2+y^2})[/tex] for alle reelle tall x, y, men spesielt er [tex]f(0,0) = 0[/tex]

Hvordan kan jeg avgjøre [tex]f_1(0,0)[/tex] og [tex]f_2(0,0)[/tex] dersom de eksisterer?

Det jeg har gjort er at jeg har fått at

[tex]f_1(x,y) = 3x^2sin(\frac{1}{x^2+y^2})-\frac{2x(x^3+y)}{(x^2+y^2)^2}cos(\frac{1}{x^2+y^2})[/tex]

Hvordan kan jeg vise at [tex]f_1(0,0)[/tex] eksisterer? Jeg sliter også med å se hva [tex]f_1(0,0)[/tex] skal være. Fasit sier [tex]f_1(0,0)=1[/tex] og at [tex]f_2(0,0)[/tex] ikke eksisterer. Noen hjelpespark i riktig retning?

Slet litt med den jeg og, men prøv å skriv om til polarkoordinater

da er [tex]x=r \cos \theta[/tex] og [tex]y = r \sin \theta[/tex]

så grensen blir [tex]r\to0[/tex] i stedenfor [tex](x,y)\to(0,0)[/tex]og så er det bare å vurdere om grensen eksisterer for alle vinkler.

dog får både jeg og kalkulatoren min at ingen av grensene eksisterer=/

Husk at partiellderiverte bare "er i en dimensjon". Det er bare én variabel som varierer når man partiellderiverer. Per definisjon er [tex]f_1(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x,y)}{h}[/tex].
Å skrive om til polarkoordinater er altså unødvendig.

I dette tilfellet er

[tex]f_1(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)}{h}[/tex].

Denne grensen får jeg til å bli 0, ikke 1. Jeg mistenker at fasiten muligens kan ta feil der?

@Fibonacci92: Å regne ut den partiellderiverte for (x,y) forskjellig fra (0,0) hjelper deg ikke til å finne den deriverte for (x,y) = (0,0). Derfor må du benytte definisjonen slik som ovenfor. Det er helt analogt med at man må benytte definisjonen av den deriverte når man har med slike stykkevis definerte funksjoner i én variabel (som du sikkert var borti i Analyse 1.)

Var egentlig klar over at jeg var ute å kjøre med utregningen min av [tex]f_1(x,y)[/tex], men jeg må ha hoppet over den delen med stykkvis definerte funksjoner i analyse 1:)

Jeg prøvde meg med definisjonen også, men der fikk jeg at også at grensen var null. Takk for hjelpen uansett!:)

Ingen problem

Det var i alle fall noen oppgaver i Analyse 1 i høst med delt forskrift (er vel en bedre betegnelse enn 'stykkevis definert'), f.eks. en funksjon som var x sin(1/x) for x forskjellig fra 0 og 0 i x = 0, og så skulle man vise at den deriverte eksisterte i x = 0. For slike funksjoner må man anvende definisjonen av den deriverte, siden funksjonsuttrykket forandrer seg i dette punktet. Det er akkurat det samme som gjelder her.