Vise at a+b+c+d = 0 gir det A = 0

[fjas]

Matriser er visst ikke min greie har jeg funnet ut.

For andre kan det virke lett, for meg går det utrolig tregt.

Jeg har en oppgave hvor jeg skal vise at at a+b+c+d = 0 gir

| a b c d |
| b c d a | = 0
| c d a b |
| d a b c |

Hva, eller hvordan dette er ment skal gjøres skjønner jeg ikke.

Alle tips, triks og råd mottas med takk!

edit: Hvis a b c d blir 0, så må vel andre variasjoner med de samme elementene også bli 0.. Og flere like søyler gir jo det A = 0... Eller?

[Vektormannen]

Matriser er ikke helt min greie heller, men her tror jeg det blir enklest om du bruker at determinanten ikke endrer seg dersom du legger rader til hverandre. Hva skjer om du f.eks. tar å legger de tre nederste radene til den øverste?

[fjas]

Matriser er ikke helt min greie heller, men her tror jeg det blir enklest om du bruker at determinanten ikke endrer seg dersom du legger rader til hverandre. Hva skjer om du f.eks. tar å legger de tre nederste radene til den øverste?

| abcd bcda cdab dabc | ?

Heh, dette er visst å famle i blinde..

[Vektormannen]

Tenk deg at du først legger den nederste til den øverste raden. Med å legge til så mener jeg å plusse dem sammen. Da får vi:

[tex]\left|\begin{array}{ccc} a+d \ & \ b+a \ & \ c+b \ & \ d+c\\ b & c & d & a\\ c & d & a & b\\ d & a & b & c\end{array}\right|[/tex]

Legger vi til den nest nederste får vi i:

[tex]\left|\begin{array}{ccc} a+d+c \ & \ b+a+d \ & \ c+b+a \ & \ d+c+b\\ b & c & d & a\\ c & d & a & b\\ d & a & b & c\end{array}\right|[/tex]

Hva skjer da når vi legger til den nest øverste raden?

EDIT: fikset LaTex.

[fjas]

[..]
(a+d+c) (b+a+d) (c+b+a) (d+c+b)

Hva skjer da når vi legger til den nest øverste raden?

| 0 0 0 0 | ?

[Vektormannen]

Stemmer det!

Hva blir determinanten til en matrise der en av radene bare består av null?

[fjas]

Stemmer det!

Hva blir determinanten til en matrise der en av radene bare består av null?

0..

Men, det er da vel ikke så enkelt?

[Vektormannen]

Jo, jeg tror faktisk det er det. Determinanten til en matrise forandrer seg ikke om man legger til en konstant ganger en rad til en annen rad. Det har vi gjort her, og har da fått summen a+b+c+d i hvert element i første rad, som altså er 0. Da må determinanten -- som er den samme som determinanten til den opprinnelige matrisen -- være 0.

[fjas]

Fytterakkern, at det går an..

Tusen takk for hjelpen!