Enkel integrasjon

[prasa93]

Halla, sitter litt fast her: Hvordan blir 4-tallet i stykket gjort om til 2? Er nok ikke helt med på substitusjonen her.

http://tinyurl.com/75kpcwt

[Nebuchadnezzar]

Titt litt på tråden min om integrasjon du =)

[tex]u = 2x + 1[/tex] slik at[tex] \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2[/tex] snur vi denne med tanke på [tex]\mathrm{d}x[/tex] får vi at [tex]\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u[/tex]

[prasa93]

Okei tror jeg har det nå, men hvor forsvinner "du" i slutten?

Jeg har først [symbol:integral] 4e^(2x+1) dx og subs. og får:

[symbol:integral] 4 e^u dx

u = 2x+1

du / dx = (2x+1)'

dx = 1/2 du

[symbol:integral] 4e^u 1/2 du = 2 e^(2x+1) du. Er dette riktig?

[Nebuchadnezzar]

Virker ikke helt som du forstår hvordan dette med integrasjon henger sammen. Så jeg kan prøve å forklare deg det enkelt, men du kan også prøve å lese litt i boken =)

Jeg vet det er vanskelig men er viktig å jobbe med forståelsen og ikke bare formelpuggingen, spesielt med tanke på integrasjon

[tex]\int x^2 \mathrm{d}x[/tex]

Hva betyr dette? Jo det betyr i praksis at vi skal integrere (eller Summere, [tex]\int[/tex] symbolet er egentlig en strekt S) x^2 med tanke på variablen [tex]x[/tex]

\mathrm{d}x delen betyr i praksis integrer med tanke på x. Legg merke til at variabler står i kursiv, d`en er ikke en variabel.

Videre når vi gjør en substitusjon eller variabelskifte så skifter vi hvilken variabel vi integrerer med hensyn på. Da må vi forandre [tex]\mathrm{d}x[/tex] og

Slik at det blir helt feil å skrive [tex]\int 2 e^u \mathrm{d}x[/tex] , I dette tilfellet.

[prasa93]

Hvordan skulle man ha løst min oppgave, da?

[Nebuchadnezzar]

Du har gjort det riktig, men aldri bland [tex]u[/tex] og [tex]x[/tex] =)

Vi har

[tex]\int 4e^{2x+1} \mathrm{d}x[/tex]

Her setter vi [tex]u = 2x + 1 \Rightarrow \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2 \Rightarrow \mathrm{d}x = \frac{1}{2}{\mathrm{d}x}[/tex]

[tex]\int 4e^{u} \frac{1}{2}\mathrm{d}u[/tex]

[tex]2 \int e^{u} \mathrm{d}u[/tex]

Nå kan vi bare integrere med tanke på [tex]u[/tex], siden vi har [tex]\mathrm{d}u[/tex]

[tex]2 e^{u} + \mathcal{C}[/tex]

Og nå bytter vi tilbake, siden det blir for dumt om oppgaven ber oss integrere x, og vi oppgir svaret som u.

[tex]2 e^{2x+1} + \mathcal{C}[/tex]

Som sagt, var bare litt pirkete i sted. Men ja, prøv å les det som står angående substitusjon i trpden, eller søk opp Khan på youtube =)

[prasa93]

Flottings, mange takk!

[prasa93]

Hvis vi tar denne, da:

[symbol:integral] x / (x^2 + 1) dx

Setter x^2 + 1 som u og får at du / dx = 2x

dx = du / 2x

Gjør jeg riktig, eller er det samme feilen som ovenfor som går igjen?

[Nebuchadnezzar]

Helt riktig det her. Eneste jeg mente i sted var at du alltid "må" bytte til [tex]u[/tex] og [tex]\mathrm{d}u[/tex] samtidig =)

[prasa93]

Okok! Men hva er greia med at jeg finner dx = "noe" og setter det inn i stykket, mens løsningsforslaget på nett her kjører på med du = noe?

[Nebuchadnezzar]

Det er akkuratt det samme, om du ser litt nøyere i sømmene.

Variabelskifte er egentlig bare smart bruk av kjerneregelen.

Altså at vi vet at

[tex]\int g^\prime(x) f(g(x)) \mathrm{d}x = f\bigl(g(x)\bigr) + \mathcal{C}[/tex]