Logaritmeligning R1

[malef]

[tex]\lg(2x-2)^2=4\lg(1-x) \\2 \lg(2x-2)=2\lg (1-x)^2 \\2x-2=(1-x)^2 \\x^2-4x+3=0 \\x=3 \ \vee \ x=1[/tex]

Hva er det jeg har gjort feil?

[svinepels]

Det du må passe på, er generelt å skrive for eksempel

[tex]\lg x^2 = 2 \lg x[/tex]

Dette gjelder nemlig bare hvis x er positiv. Ta for eksempel x = -1. Da får vi

[tex]\lg x^2 = \lg (-1)^2 = \lg 1 = 0[/tex]

mens

[tex]2 \lg x = 2 \lg (-1)[/tex]

Og vi kan ikke ta logaritmen av negative tall, så de to uttrykkene er ikke like. Er du med? Så når du i din oppgave skriver [tex]4 \lg(1-x) = 2 \lg (1-x)^2[/tex], må du anta at uttrykket [tex]1-x[/tex] er positivt, med andre ord kan ikke x være lik 3.

[PeterGriffin]

..

[malef]

Takk for svar! Jeg henger delvis med, og når du sier det ser jeg jo at x=3 innebærer at jeg tar logaritmen av et negativt tall og x=1 at jeg tar logaritmen av 0, som vel heller ikke er bare bare? Hvordan skal jeg da angripe denne ligningen?

[Vektormannen]

@PeterGriffin: Da tror jeg du har gjort en eller annen feil?

[tex]2(x-1) = (1-x)^2 \ \Leftrightarrow \ (x-1)^2 - 2(x-1) = 0 \ \Leftrightarrow \ (x-1)((x-1) - 2) = (x-1)(x-3) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3[/tex].

Som svinepels forklarte så løser ingen av disse ligningen.

Når man løser ligninger bør man alltid finne ut hva det som ofte kalles grunnmengden til ligningen er. Grunnmengden består av alle tall som kan settes inn for x i ligningen. I dette tilfellet er grunnmengden intervallet [tex]\langle -\infty, 1 \rangle[/tex], og ingen x-verdiene som andregradsligningen gav er med der.

Edit: @malef: Du kan ikke gjøre noe mer, den har ingen løsninger!

[PeterGriffin]

Ja, det gikk visst litt fort i svingene der gitt..

[malef]

Edit: @malef: Du kan ikke gjøre noe mer, den har ingen løsninger!

Det skulle ikke falle meg inn å trekke Vektormannen i tvil, men fasiten sier -1 Det er altså fasitfeil?

[2357]

Fasiten er riktig den.

[Vektormannen]

Beklager, det gikk litt fort i svingene her og. At fasiten er riktig ser du ved å sette inn i ligningen.

Som svinepels er utregningen din gjort under den antagelsen at x er større enn 1, for det er kun da [tex]\lg (2x-2)^2 = 2\lg (2x-2)[/tex]. Men vi vet at x ikke kan være positiv, for det er utenfor grunnmengden til ligningen. Vi må derfor anta at x er negativ. Da må vi passe på en ting; da vil ikke [tex]\lg(2x-2)^2 = 2\lg(2x-2)[/tex], men [tex]\lg(2x-2)^2 = 2\lg(-(2x-2)) = 2 \lg (2-2x)[/tex] (er du med på det?) Dette gir en annen andregradsligning enn i sted.

[malef]

Jeg er med på det når du sier det Mulig jeg ikke har lest boka nøye nok, men dette burde jo stå med blinkende neonskrift ...

Jeg får da følgende:

[tex]\lg(2x-2)^2=4\lg(1-x)\\2\lg(-(2x-2))=2\lg(1-x)^2\\2\lg(2-2x)=2\lg(1-x)^2\\x^2-1=0\\x=-1 \ \vee \ x=1[/tex]

Kun ett av svarene er gyldig grunnmengden tatt i betraktning, så løsningen blir x=-1. Har jeg oppfattet det rett?

[Vektormannen]

Det stemmer det

Poenget her er at i bunn og grunn at ligningen [tex]\lg x^2 = k[/tex] er ekvivalent med til sammen to ligninger, [tex]2 \lg x = k[/tex] og [tex]2 \lg (-x) = k[/tex]. Hvis x løser den opprinnelige ligningen så løser jo også tallet -x den opprinnelige ligningen, ikke sant? Det kan være det står om dette i boken din, men jeg mener at i min (Aschehoug R1) sto det ikke noe om det.

[svinepels]

Ser greit ut. Generelt kan man vel si at hver gang man støter på et ledd i en ligning som ser slik ut:

[tex]\lg (f(x))^2[/tex] (her står f(x) for et eller annet uttrykk med x i)

så må man ta tilfellet der f(x) er positiv, og tilfellet der f(x) er negativ, hver for seg. Til slutt ser man på alle x'ene man har oppnådd som løsninger, setter dem inn i ligningen og ser hvilke av dem som faktisk løser den originale ligningen.

[malef]

Tusen takk skal dere ha for hjelpen - dette var virkelig lærerikt!