matematikk.net

Finn et funksjonsuttrykk for en tredjegradsfunksjon som går gjennom punktene (-1,2), (0,2) og (3,2).

Står fast på denne, noen som kan hjelpe?

[tex]f(-1) = 2[/tex]

[tex]f(0) = 2[/tex]

[tex]f(3) = 2[/tex]

Observer at alle funksjonsverdiene er lik 2. Det at [tex]f(0)=2[/tex] betyr at konstantleddet er lik 2. Når funksjonsverdien er lik konstantleddet, betyr det at alle de andre leddene til sammen blir 0. Lag en ny funksjon [tex]h(x) = f(x) - 2[/tex]. Da er [tex] h(-1) = h(0) = h(3) = 0[/tex]. En slik funksjon er enkel å bestemme siden du vet at [tex]h(a) = 0[/tex] betyr at den kan faktoriseres til et polynom [tex]p(x)[/tex] og et førstegradsledd [tex](x-a)[/tex]. Finn [tex]h[/tex] og legg til 2.

Generelt trenger man vel alltid et punkt mer enn graden på polynomet en skal interpolere. I.e. er du sikker på at oppgaveteksten er riktig? Ellers er det jo mulig å finne uendelig mange slike tredjegradsfunksjoner. Ett eksempel er:
[tex]f(x)=x^3 -2x^2 -3x + 2[/tex]

Oppgaveteksten stemmer. Takk for svar!

Knøtt wrote:Finn et funksjonsuttrykk for en tredjegradsfunksjon som går gjennom punktene (-1,2), (0,2) og (3,2).

Står fast på denne, noen som kan hjelpe?

[tex]f(-1) = 2 \\ f(0) = 2 \\ f(3) = 2[/tex]

Ok, tre uttrykk, tatt fra punktene du oppga.

Tredjegradsuttrykk er gitt ved:

[tex]ax^3 + bx^2 + cx + d[/tex]

Herfra setter vi inn de x og f(x)-verdiene vi har fra over.

[tex]a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = 2 \\ a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 2 \ \ \Right \ \ d=2 \\ a(3)^3 + b(3)^2 + c(3) + d = 2[/tex]

Herfra skal dette være et "løsbart" likningssett med minst en fri variabel, som betyr at det er uendelig mange løsninger, men din jobb er å finne én.

Hvis du vil ha litt mer info, så sjekk sida mi i signaturen, og finn video om ubestemt likningssystem. Forklarer litt om hva det betyr osv.

Aleks, to likninger med tre ukjente er neppe det man ønsker seg her.

Sant, så sant. Men hvis det er det man har å jobbe med, så må man jo ta høyde for det.

Selv mener jeg det mangler noe informasjon, hvis dette er S-matte. Ubestemte likningssystemer er jo borderline høyskolemateriale.

Man har jo mer å jobbe med, som jeg nevnte tidligere.

Vi vet at funksjonen kan skrives som [tex]f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) + 2[/tex] der [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex] og [tex]x_3[/tex] er nullpunktene til [tex]h(x)[/tex]. Disse var gitt som [tex]-1, \, 0[/tex] og [tex]3[/tex]. Det gir [tex]f(x) = ax(x+1)(x-3)+2 = a(x^2-2x^2-3x)+2[/tex] hvor [tex]a=1[/tex] produserer forslaget til Wingeer.