matematikk.net

Hei,
Har en oppgave jeg lurer litt på. Den går som følger:
"By estimating the coefficients of the Laurent series, prove that if [tex]z_0[/tex] is an isolated singularity of f, and if [tex](z-z_0)f(z) \to 0[/tex] as [tex]z \to z_0[/tex], then [tex]z_0[/tex] is removable. Give a second proof based on Morera's theorem."
Begynte på ett bevis utifra Laurent-rekken. Det går som følger:
Anta at f(z) har en hoveddel (principal part?), da er koeffisientene lik:
[tex]b_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{-n+1}} dz = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} f(z)(z-z_0)^{n-1} dz[/tex] for n>1 og en passelig r.
Her stopper det egentlig litt opp. Jeg har veldig lyst til å ta grenseverdien når z går mot z_0 innenfor integralet slik at jeg får integralet av 0, men jeg er usikker på hvorvidt det er lov eller ikke. Laurent-rekken er jo uniformt konvergent innenfor [tex]|z-z_0|=r[/tex], men det betyr vel ikke at integranden er det.
Ellers er jeg også svært usikker på hvordan jeg skal bruke Moreras teorem til dette. Jeg siterer teoremet fra boken:
"Let f(z) be a continuous function on a domain D. If [tex]\int_{\partial R} f(z)dz=0[/tex] for every closed rectangle R contained in D with sides parallel to the coordinate axes, then f(z) is analytic on D."
Vil det at en funksjon er analytisk over et helt domene si at den hverken har poler eller essensielle singulæriteter over domenet?

Vil det at en funksjon er analytisk over et helt domene si at den hverken har poler eller essensielle singulæriteter over domenet?

Ja. Generelt har vi at: Analytisk => funksjonen har en potensrekkeutvikling rundt alle punkter i domenet, som igjen betyr at den ikke kan ha noen singulariteter, og er uendelig deriverbar.

Ang. bruken av Morera.

Vi har at
[tex]|\oint_{|z-z_0|=r} (z-z_0)f(z) dz | \leq 2\pi r |(z-z_0)f(z)|=2\pi |z-z_0|^2 f(z)| \to 0 [/tex]

Ved Morera betyr dette at [tex](z-z_0)f(z)[/tex] er analytisk, som igjen betyr at [tex]z_0[/tex] er en hevbar singularitet.

At integrasjonsområdet ikke er et kvadrat har ingenting å si.

Takk for svar.
Kan det være en idé og bruke ML-ulikheten også for beviset gjennom Laurent-koeffisientene?
Hvorfor har det med integrasjonsområdet ingenting å si? Jeg synes det var litt rart at boken angivelig viser et svakere resultat som også krever et mer omstendig bevis etter hva jeg kunne finne på Internett.

Om du antar resultatet i boken (dvs. integrere over kvadrat), så kan du komme så nært "enhver" annet integrasjonsområde du ønsker ved tilnærming med kvadrater.

Antakelig beviste de det kun for kvadrater i boken for å gjøre beviset lettere.