matematikk.net

y' + y = cos x

Fasit: y = e^-x + 0,5(sin x + cos x)

Bruker standardmetodene fram til jeg får:

y * e^x = [symbol:integral] e^x * cos x

Finner at [symbol:integral] e^x * cos x = e^x * cos x - [symbol:integral] - sin x * e^x og videre at [symbol:integral] - sin x * e^x = - sin x * e^x - [symbol:integral] - cos x * e^x.

Dermed klarer jeg ikke å få 2 [symbol:integral] e^x * cos x på venstre side etter jeg har rota det til med fortegna. Noen som gidder å rydde i rotet mitt? Og btw, ser heller ikke hvordan det blir e^-x + (etellerannet), hvordan kommer pluss-tegnet inn?

Håper noen er behjelpelige!

[tex]I \, = \int e^x \, \cdot \, \cos x \, \mathrm{d}x[/tex]

[tex]I \, = e^x \, \cdot \, \cos x \, - \, \int e^x \, \cdot \, (- \sin x ) \, \mathrm{d}x[/tex]

[tex]I \, = e^x \, \cdot \, \cos x \, + \int e^x \, \cdot \, \sin x \, \mathrm{d}x[/tex]

[tex]I \, = e^x \, \cdot \, \cos x \, + \, \left( e^x \, \cdot \sin x \, - \int e^x \, \cdot \cos x \, \mathrm{d}x \, \right)[/tex]

[tex]I \, = e^x \, \cdot \, \cos x \, + e^x \, \cdot \sin x \, - I[/tex]

[tex]2I \, = e^x \, \cdot \, \cos x \, + e^x \, \cdot \sin x [/tex]

[tex]I \, = \, \frac{1}{2}\,\cdot \, e^x \left( \, \cos x \, + \, \sin x \right) \, + \, \mathcal{C} [/tex]

Nice, akkurat det jeg fikk. Men er det det samme som i fasiten? (står skrevet lengre oppe)

Husk og dele på [tex]e^x[/tex] (som er akkuratt det samme på [tex]e^{-x})[/tex] så skal du få det samme

Ja, det er vel der jeg ikke klarer å se hvordan jeg kommer frem til det som det skal være. Klarer ikke få fram plusstegnet; er det en av eksp.-reglene man må bruke?

Etter integreringen din, så kommer du frem til

[tex]y \, \cdot \, e^x \, = \, \frac{1}{2}\,\cdot \, e^x \left( \, \cos x \, + \, \sin x \right) \, + \, \mathcal{C} [/tex]

ikke sant? Herfra Så ganger vi med [tex]e^{-x}[/tex] på begge sider, og ser at

[tex]e^x \cdot e^{-x} = e^{x - x} = e^0 = 1[/tex]

Slik at

[tex]y \, \cdot \, e^x \, \cdot \, e^{-x} \, = \, \frac{1}{2}\,\cdot \, e^x \cdot e^{-x}\left( \, \cos x \, + \, \sin x \right) \, + \, \mathcal{C} \, \cdot \, e^{-x} [/tex]

[tex]y \, = \, \frac{1}{2}\,\cdot \, \left( \, \cos x \, + \, \sin x \right) \, + \, \mathcal{C} \, \cdot \, e^{-x} [/tex]