Det naturlige tallet e
Posted: 07/10-2005 09:09
Hvorfor er akkurat e det naturlige tallet?
Funksjonallikningen f(xy)=f(x)+f(y) der f er en kontinuerlig funksjon, har kun løsningen f(x) = log[sub]a[/sub]x, der a er positiv konstant forskjellig fra 0. Ved hjelp av denne funksjonallikningen kan man utlede reglene for logaritmeregning. Ved å anvende disse reglene og definisjonen av den deriverte av en funksjon kan vi finne den deriverte av logaritmefunksjonen. Etter litt regning kommer man fram til
f´(x) = (log[sub]a[/sub]x)´ = (1/x)[sub]*[/sub] log[sub]a[/sub] [lim [sub]n → ∞[/sub] (1+n)[sup]1/n[/sup]],
Det går an å vise denne grenseverdien eksisterer og er omtrent lik 2,718. Denne grenseverdien defineres altså som tallet e. Ved å benytte denne definisjonen får vi at
(log[sub]a[/sub]x)´ = log[sub]a[/sub]e/x.
Her er log[sub]a[/sub]e en konstant. Videre er (log[sub]a[/sub]x)´ = 1/x hvis og bare hvis a=e. Denne ekvivalensen er nok grunnen til at nettopp e er grunntallet i det som kalles den naturlige logaritmefunksjonen.