matematikk.net

Jeg får ikke til to veldig like oppgaver om uniform kontinuitet. Vet ikke helt hvordan jeg skal gå løs på dem!

f(x)= e^-(1/x) på (0,uendelig) og f(x)= e^(1/x) på (0,uendelig)

Noen som kan hjelpe meg i gang her?

Definisjonen av uniform kontinuitet (i R) er at for alle epsilon større enn 0 eksisterer det en delta slik at for alle x,y i domenet har vi at:
[tex]|x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon[/tex]. Så la epsilon være større enn null, og la oss for notasjonens skyld skrive at [tex]|x-y| < C[/tex] for alle x,y, hvor C er i R (ikke nødvendigvis endelig).
Fra middelverditeoremet har vi at:
[tex]|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}| = f^{\prime}(c)[/tex], der [tex]c \in (x,y) = R[/tex] siden funksjonens domene er R. Dette fører til at:
[tex]|f(x)-f(y)| = f^{\prime}(c)|x-y| < f^{\prime}(c)C[/tex], for at f skal være uniformt kontinuerlig må dette være lik epsilon, altså har vi at:
[tex]C = \frac{\epsilon}{f^{\prime}(c)}[/tex]. For at dette skal gi mening må vi ha at f'(c) er begrenset ([tex]f^{\prime}(c) \leq M[/tex] for en M i R) for alle c i R. Resten (det lille som er igjen!) tar du kanskje selv?

wingeer: Her må vi være forsiktige. Vi kan godt ha ubegrenset derivert selv om funksjonen er uniformt kontinuerlig. Ta f.eks [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex].

Det som stemmer er at om den deriverte er begrenset på definisjonsintervallet, så er funksjonen uniformt kontinuerlig (ved beviset du skrev).

Derfor vil den første funksjonen være uniformt kontinuerlig på hele intervallet på grunn av wingeers post.

Den andre funksjonen har ubegrenset derivert *og* går til uendelig når [tex]x \to 0[/tex], så vi burde ha en sterk mistanke om at den ikke er uniformt kontinuerlig.

For å bevise dette må vi finne en følge av intervallet som blir mindre og mindre, men slik at funksjonsforskjellene ikke blir det.

F.eks la [tex]I=(\frac{1}{\ln n},\frac{1}{\ln(n-1)})[/tex]. Intervallengden går mot null, men funksjonsforskjellene er lik [tex]e^{\frac{1}{\ln n}}-e^{\frac{1}{\ln (n-1)}}=1[/tex]. Derfor kan ikke funksjonen være uniformt kontinuerlig.

Ja, riktig. Forsøket(!) på å skrive en forståelig tekst kom litt i veien for logikken her. Takk for at du påpeker og retter opp.