Asymptotisk stabilitet (Liapunov)
Posted: 30/03-2012 13:42
Hei.
Er litt usikker på følgende oppgave:
Gitt systemet:
[tex]\dot{x} = y - x^3[/tex]
[tex]\dot{y} = -x + 2x^3 -2y[/tex]
Bruk Liapunov funksjonen [tex]V(x,y) = x^2 + y^2[/tex] til å vise at origo i [tex](x,y)[/tex]-planet er asymptotisk stabilt.
LØSNINGSFORSLAG:
OK, så familien av kurver:
[tex]V(x,y) = x^2 + y^2 = \alpha[/tex], [tex]0 < \alpha < \infty[/tex]
er et topografisk system. Vi har da at:
[tex]\dot{V}(x,y) = 2x\dot{x} + 2y\dot{y}[/tex]
[tex]= 2x(y - x^3) + 2y(-x + 2x^3 -2y) = 2xy - 2x^4 - 2xy +4x^{3}y -4y^2 = -2x^4 + 4x^{3}y - 4y^2[/tex]
For at vi skal ha asymptotisk stabilitiet, må [tex]\dot{V}(x,y) < 0[/tex] for alle punkter utenom origo. Men jeg kan ikke se at dette stemmer her. Setter vi f.eks. [tex]x = -5[/tex], [tex]y = -5[/tex], så er [tex]\dot{V}(x,y) > 0[/tex]. Så her må jeg gjøre et eller annet feil.
Setter stor pris på hjelp/tips!
Er litt usikker på følgende oppgave:
Gitt systemet:
[tex]\dot{x} = y - x^3[/tex]
[tex]\dot{y} = -x + 2x^3 -2y[/tex]
Bruk Liapunov funksjonen [tex]V(x,y) = x^2 + y^2[/tex] til å vise at origo i [tex](x,y)[/tex]-planet er asymptotisk stabilt.
LØSNINGSFORSLAG:
OK, så familien av kurver:
[tex]V(x,y) = x^2 + y^2 = \alpha[/tex], [tex]0 < \alpha < \infty[/tex]
er et topografisk system. Vi har da at:
[tex]\dot{V}(x,y) = 2x\dot{x} + 2y\dot{y}[/tex]
[tex]= 2x(y - x^3) + 2y(-x + 2x^3 -2y) = 2xy - 2x^4 - 2xy +4x^{3}y -4y^2 = -2x^4 + 4x^{3}y - 4y^2[/tex]
For at vi skal ha asymptotisk stabilitiet, må [tex]\dot{V}(x,y) < 0[/tex] for alle punkter utenom origo. Men jeg kan ikke se at dette stemmer her. Setter vi f.eks. [tex]x = -5[/tex], [tex]y = -5[/tex], så er [tex]\dot{V}(x,y) > 0[/tex]. Så her må jeg gjøre et eller annet feil.
Setter stor pris på hjelp/tips!
. Leste litt for fort gjennom seksjonen i kapitlet. Det er ikke nødvendig at [tex]\dot{V}(x,y) < 0[/tex] i hele (x,y)-planet. Så lenge vi kan definere et åpent nabolag, [tex]N_{\mu}[/tex] rundt origo hvor ulikheten holder, så oppfylles stabilitetskravet. I dette tilfellet oppnår vi dette ved å velge [tex]\mu = \sqrt{2}[/tex]