matematikk.net

La G være en endelig gruppe med nøyaktig ett 2. ordens element f. Vis at [tex]\prod_{g\in G} g = f[/tex].
Oppgaven skal løses kun ved å bruke elementære egenskaper til ordenen til grupper og deres elementer.

Det abelske tilfellet er lett. Der trenger man bare å telle elementer.

I det ikke-abelske tilfellet virker det litt verre. Da ser det ut som jeg må vise at dette produktet har orden 2, eller er sin egen invers, men jeg ser ikke hva jeg kan ta tak i for å begynne.[/tex]

Det første jeg legger merke til er at produktet ikke nødvendigvis er veldefinert. Notasjonen [tex]\prod_{g\in G} g = f[/tex] sier ingenting om hvilken rekkefølge vi multipliserer elementene i. Så om du kan vise at rekkefølgen ikke har noe å si så lenge vi multipliserer alle elementene i gruppen, så har du vist at produktet er veldefinert.

Så legger du merke til at produktet inneholder alle elementene i gruppen og deres inverser. Siden rekkefølgen av multiplikasjon ikke har noe å si (det er dette veldefinert betyr), kan du stryke hvert element g mot sin invers - bortsett fra f - for den er sin egen invers. Derfor står du igjen med f til slutt.

-
For å vise at produktet er veldefinert, beviser du følgene hakket mer generelle sats:

"I en endelig gruppe med n elementer, [tex]g_1,\ldots,g_n[/tex], og hvor [tex]a_1,\ldots,a_n[/tex] er en bijeksjon av [tex]\{ 1,\cdots,n\}[/tex], så er [tex]g_1\cdots g_n \cdot g_{a_1} \cdots g_{a_n}=e[/tex]."

Skisse av bevis: Dette følger ganske direkte fra det faktum at [tex]\text{ord}(ab)=\text{ord}(ba)[/tex]. (enkelt bevis, prøv selv).

Vi trenger vel bare å vise at [tex]|aba^{-1}|=|b|[/tex]. Beviset for dette er triviellt: La [tex]|b|=n[/tex]. Da er [tex](aba^{-1})^n=a^n b^n a^{-a} = a^n a^{-n} = e[/tex].

Derfor kan vi matche hvert element med sin invers, så lenge de er forskjellige. Dette er tilfellet for hvert element untatt [tex]f[/tex], så [tex]\left| \prod_{g\in G}g\right| = |f|=2[/tex] og dermed er likheten bevist siden [tex]f[/tex] er det unike elementet med orden 2.

Du gjør en feil her:
[tex](aba^{-1})^n=a^n b^n a^{-a} = a^n a^{-n} = e[/tex]
Det stemmer ikke at [tex](ab)^n=a^nb^n[/tex] i en ikke-kommutativ gruppe.

Ah, så klart. Det riktige argumentet blir vel
[tex](aba^{-1})^n=aba^{-1}ab...a=ab^na^{-1}=aa^{-1}=e[/tex]

Og for å være presis, har du nå vist at [tex]|aba^{-1}| \leq |b|[/tex]. Resultatet følger fra at [tex]ab^na^{-1}=e \Leftrightarrow b^n=e[/tex]. (eventuelt er dette opplagt)

Skjønner. Takk for hjelpen!